Matematiksel fizikte bazı diferensiyel denklemlerin kesirsel matematikle çözümlerinin incelenmesi

Abstract

Doğada ve beşeri yaşamda stokhastik olarak gelişen birçok karmaşık sistem bulunmaktadır. Bu tez çalışmasında, karmaşık fiziksel sistemlerin dinamiğini tasvir etmekte standart matematiksel fiziğin yetersizliği gösterilmekte ve stokhastik sistemleri gerçeğe yakın tasvir eden kesirsel matematiğin önemi açıklanmaktadır. Ancak görülüyor ki, kesirsel matematik, matematiksel tanımlardan öteye geçememektedir. Kesirsel matematiğin karmaşık sistemleri tasvir etmekte başarılı olmasının temelinde yatan fiziksel mekanizmayı açığa çıkarmak amacıyla, sistemin, kümülatif olarak gelişimini hesaba katan Fibonacci yaklaşımından hareketle kümülatif yöntem geliştirilmektedir. Buradan hareketle, fraktal bir uzayda, bellek etkileri ile gelişen karmaşık süreçlerin, kesirsel matematikle paralel olarak kümülatif yöntemle de ele alınabileceği gösterilmektedir. Kümülatif yöntemde karmaşık fiziksel sistemin geliştiği çevrenin fiziksel özelliği $/alpha$ parametresi ile girdirilmektedir. Bizim formülasyonumuza göre, fiziksel sistemlerin gelişimi, kümülatif yöntemin operatör tekniği ile ele alınmaktadır. Bizim yaklaşımımızda, operatör kuvveti olarak ortaya çıkan $/alpha$ parametresi, kesirsel matematiğin differintegral mertebesine karşılık gelmektedir ve $/alpha$ parametresi fiziksel sistemin çevresi ile olan etkileşmesinin bir ölçüsü olarak ele alınmaktadır. Söz konusu yöntemlerin uygulanması amacıyla, Brown hareketleri, nüfus dinamiği, canlıların yaşam ve ölüm olasılıklarının araştırılması kümülatif yaklaşımla ve kesirsel matematik çerçevesinde de ele alınmaktadır. Çevrenin, canlı nüfus dinamiğine, bireyin yaşam ve ölüm olasılıklarına etkisi çizilen grafikler üzerinde $/alpha$'ya bağlı olarak gösterilmektedir.

In nature as well as human life, there exists many complex systems which develops stochastically. In this thesis, the insufficiency of the standard mathematical physics for describing the dynamics of complex physical systems are presented and the importance of the fractional calculus in describing stochastic systems realistically are outlined. With the aim of to reveal the physical mechanism underlying the success of fractional calculus to describe complex stochastic systems, cumulative method is developed in view of the Fibonacci approach which takes care of the development of the system in a compound manner. Thus, it is seen that complex processes which evolve in a fractal space with memory effects could be handled with cumulative method in parallel to the fractional calculus. In cumulative method, the physical property of the environment in which the complex physical system evolves is imposed with a parameter $/alpha$. In our derivation, the development of physical systems have been handled with the operator technique of the cumulative method. In our approach, the parameter $/alpha$ emerges as the power of the operator which corresponds to the order of the differintegration of the fractional calculus and parameter $/alpha$ is considered as a measure of the coupling of the physical system with its environment. For the purpose of application, the investigation of the Brownian movements, population dynamics and the life and the mortality probabilities of the living creatures are considered within the framework of fractional calculus and cumulative approaches. The effects of environment on the living population dynamics, life and mortality probabilities of individuals are illustrated via $/alpha$ on the sketched figures.