Curves in projective space

Abstract

ÖZET PROJEKTİF UZAYDA EĞRİLER Ali Yıldız Matematik, Yüksek Lisans Tez Yöneticisi: Doç. Dr. Ali Sinan Sertöz Temmuz, 2003 Bu tez, esas olarak derece-cins çiftlerine odaklanarak, tekil olmayan projektif uzay eğrilerinin sınıflandırılması hakkındadır. Birinci bölümde, problemi açık biçimde anlamak için gerekli olan temel kavramları verilen bir fonksiyon cis mine karşılık gelen tekil olmayan soyut eğri kavramının genel tanımıyla birlikte sunuyoruz. Nagata'nm çalışmalarından hareketle, tekil olmayan her soyut eğrinin bir P-^'e gömülebileceğini ve oluşacak görüntü hala tekil olmayacak ve P^'deki eğriye birasyonel olacak biçimde P^e izdüşürülebileceğini gösteriyoruz. Her ne kadar derece eğrinin projektif gömevine bağh olsa da, cins birasyonel bir değişmez olduğundan P3'deki eğriler olası derece-cins çiftlerininin sınıflandırılması için en genel ortamı sağlamaktadır. Tekil olmayan uzay eğrilerinin sınıflandırılması ile ilgili ilk kayda değer girişim Halphen [11] ve Noether'in [28] çalışmalarında görülmektedir. Dereceye bağlı olarak olası cins için geçerli bir aralık bulmaya çalşırken, Halphen bu arahk için doğru bir sonucu, bu derece ve cinse sahip tekil olmayan eğrileri kübik bir yüzey üzerinde kurduğu biçiminde yanlış bir iddia ile beraber belirtmiştir. Halphen'in çalışmasında görülen bu hata, daha sonradan Gruson, Peskine [9], [10] ve Mori'nin [21] çalışmaları ile ilgili eğrilerin dörtlenik yüzeyler üstündeki varlığı gösterilerek düzeltilmiştir, ikinci bölümde, hipereliptik eğrilerle beraber cinsin 0, 1 ve 2 olduğu bazı nisbeten kolay durumların incelenmesine ek olarak Halphen'in çalışmasında görülen yanlışın Gruson, Peskine ve Mori'nin çalışmaları ile nasıl düzeltildiğini gösteriyoruz. Anahtar sözcükler: Soyut eğri, tekil olmayan eğri, hipereliptik eğri, ayrık valüasyon halkası, projektif eğri, projektif gömev, cins, derece, derece-cins çifti, ikilenik yüzey, kübik yüzey, dörtlenik yüzey, moduli uzayı. iv

ABSTRACT CURVES IN PROJECTIVE SPACE Ali Yıldız M.S. in Mathematics Supervisor: Assoc. Prof. Dr. Ali Sinan Sertöz July, 2003 This thesis is mainly concerned with classification of nonsingular projective space curves with an emphasis on the degree-genus pairs. In the first chapter, we present basic notions together with a very general notion of an abstract non- singular curve associated with a function field, which is necessary to understand the problem clearly. Based on Nagata's work [25], [26], [27], we show that every nonsingular abstract curve can be embedded in some P^ and projected to P3 so that the resulting image is birational to the curve in FN and still nonsingular. As genus is a birational invariant, despite the fact that degree depends on the projective embedding of a curve, curves in P3 give the most general setting for classification of possible degree-genus pairs. The first notable attempt to classify nonsingular space curves is given in the works of Halphen [11], and Noether [28]. Trying to find valid bounds for the genus of such a curve depending upon its degree, Halphen stated a correct result for these bounds with a wrong claim of construction of such curves with prescribed degree-genus pairs on a cubic surface. The fault in the existence statement of Halphen's work was corrected later by the works of Gruson, Peskine [9], [10], and Mori [21], which proved the existence of such curves on quartic surfaces. In Chapter 2, we present how the fault appearing in Halphen's work has been corrected along the lines of Gruson, Peskine, and Mori's work in addition to some trivial cases such as genus 0, 1, and 2 together with hyperelliptic, and canonical curves. Keywords: Abstract curve, nonsingular curve, hyperelliptic curve, discrete valu ation ring, projective curve, projective embedding, genus, degree, degree-genus pair, quadric surface, cubic surface, quartic surface, quadric surface, moduli space. iii