Essential cohomology and relative cohomology of finite groups

Abstract

Bu tezde, sonlu p-gruplarının mod-p esas kohomolojisiniçalıştık. Sonlu p-gruplarının esas kohomolojisi ile ilgili en önemliproblemlerden biri, esas kohomolojisi sıfır olmayan p-gruplarıiçin kuramsal bir nitelendirme bulmaktır. Bu problem,[1] nolu referansta tanıtılmış ve henüz tamsonucu bulunamamış bir problemdir. Bu problemi, sonlu gruplarıngöreceli kohomolojisi ile ilişkilendirdik. Grubun bütün maksimalalt gruplarına göre göreceli kohomolojisini kullanarak göreceli esas kohomolojiyi tanımladık.Göreceli esas kohomolojinin, temel abel p-gruplarının esas sınıflarından yükseltilmiş sınıflartarafından üretilmiş bir idealin içinde olduğunu ispatladık.Göreceli esas kohomolojiyi belirleyebilmek için, bir temel abel p-grubunun esas kohomolojisini hesapladık. Bu esas kohomolojinin, belli bir polinom altcebiri üzerindeki modül yapısını tamamıyla verdik. Bunun yanı sıra, bu esas kohomolojinin ideal yapısını da tamamıyla belirledik.Carlson [2], sonlu bir grubun esas kohomolojisinin, belirli bir altcebir üzerinde sonlu ve serbest üreteçli olduğu sanısını ortaya koymuştur. Yukarıdakilere ek olarak, Carlson'nın bu sanısının temel abel p-grupları için de doğru olduğunu ispatladık.Son olarak, yükseltilmiş esas kohomolojiyi tanımladık. p tek asal olduğu zaman, abel olmayan ve kuvveti p olan p-grupları için yükseltilmişesas kohomolojinin sıfır olduğunu ispatladık. Böylece, bu gruplar için göreceli kohomolojinin de sıfır olduğunu gösterdik. Bu sonuçla, [1] nolu referanstaki açıkproblemin özel bir haline, kısmi bir yanıt verdik.

In this thesis, we study mod-p essential cohomology offinite p-groups. One of the most important problems on essentialcohomology of finite p-groups is finding a group theoreticcharacterization of p-groups whose essential cohomology isnon-zero. This is an open problem introduced in[1]. We relate this problem to relative cohomology.Using relative cohomology with respect tothe collection of maximal subgroups of the group, we define relative essential cohomology.We prove that the relative essential cohomology lies in the ideal generated by the essential classes which are the inflations of the essential classes of an elementary abelian p-group.To determine the relative essential cohomology, we calculate the essential cohomology of an elementary abelian p-group. We give a complete treatment of the module structure of it over a certain polynomial subalgebra. Moreover we determine the ideal structure completely.In [2], Carlson conjectures that the essential cohomology of a finite group is finitely generated and is free over a certain polynomial subalgebra. We also prove that Carlson's conjecture is true for elementary abelian p-groups.Finally, we define inflated essential cohomology and in the case p>2, we prove that for non-abelian p-groups of exponent p, inflated essential cohomology is zero. This also shows that for those groups, relative essential cohomology is zero. This result gives a partial answer to a particular case of the open problem in [1].