Analytic and asymptotic properties of non-symmetric linniks prebability densities

Abstract

ÖZET SİMETRİK OLMAYAN LINNIK OLASILIK YO?UNLUKLARININ ANALİTİK VE ASİMTOTİK ÖZELLİKLERİ M. Burak Erdoğan Matematik Yüksek Lisans Tez Yöneticisi: Prof. Iossif V. Ostrovskii Ağustos 1995 rf(0 = î^ITOjip.«?(0,2),tf?R, fonksiyonu bir olasılık dağılımının karakteristik fonksiyonudur, ancak ve an- cak (e*,0) ? PD = {(a,0) : a ? (0,2), 0< min(^, n-^f) (mod 2tt)}. Bu dağılım mutlak süreklidir ve yoğunluğu pea(x) ile gösterilir. 0 = 0 (mod 2ır) için simetriktir ve Linnik (1953) tarafından ortaya atılmıştır. Ayrıca, Laha (1960), Pillai (1990) ve Pakes (1992) tarafından 6 üzerine başka sınırlamalar getirilerek incelenmiştir. Bu çalışmada, her (a, 0) G PD için, />*(±x)'in (0, oo) üzerinde tam monoton ve R üzerinde unimodel olduğu ispatlanmıştır. p£(x)'in 0'ya göre monotonluk özellikleri incelenmiştir. p^(x)'in x sonsuza giderken asimtotik seri açılımıyla, log x, /x/ka, /x/k (k = 0,1,2,...) terimleri cinsinden koşulsal yakınsak seriye açılımı elde edilmiştir. Bunlardan ikincisi (a, 0) E PD nin hemen hemen bütün değerleri (fakat tümü değil) için mutlak yakınsaktir. PD'nin karşılık gelen altkümeleri Liouville sayıları cinsinden ifade edilir. Anahtar Kelimeler : Cauchy tipi integral, Karakteristik fonksiyon, Tam monotonluk, Liouville sayıları, Plemelj-Sokhotskii formülü, Unimodellik iv

ABSTRACT ANALYTIC AND ASYMPTOTIC PROPERTIES OF NON-SYMMETRIC LINNIK'S PROBABILITY DENSITIES M. Burak Erdoğan M.S. in Mathematics Supervisor: Prof. Iossif V. Ostrovskii August 1995 We prove that the function is a characteristic function of a probability distribution if and only if (a,6) ? PD = {(a,0) :. a ? (0,2), /$/ < min(f, tt - f) (mod 2tt)}. This distribution is absolutely continuous, its density is denoted by pea(x). For 0 = 0 (mod 2?r), it is symmetric and was introduced by Linnik (1953). Under another restrictions on 0 it was introduced by Laha (1960), Pillai (1990), Pakes (1992). In the work, it is proved that p8a(±x) is completely monotonic on (0, oo) and is unimodal on R for any (a,0) G PD. Monotonicity properties of P°a(x) w'tn respect to 9 are studied. Expansions of pea(x) both into asymp totic series as x - » ±oo and into conditionally convergent series in terms of logi, xfca, x* (k = 0,1,2,...) are obtained. The last series are abso lutely convergent for almost all but not for all values of (a, 6) ? PD. The corresponding subsets of PD are described in terms of Liouville numbers. Keywords : Cauchy type integral, Characteristic function, Completely monotonicity, Liouville numbers, Plemelj-Sokhotskii formula, Unimodality in