On lower degree bounds for vector invariants over finite fields

Abstract

ÖZET SONLU CİSİMLER ÜZERİNDEKİ VEKTÖR DEĞİŞMEZLERİNİN DERECELERİNİN ALT SINIRLARI ÜZERİNE Uğur Madran Matematik Bölümü Yüksek Lisans Danışman: Prof. Dr. S. A. Stepanov Eylül, 2000 Bu tezin amacı özel bir durum için modüler değişmezlik teorisinde dereceler üzerine bir alt sınır bulmaktır. Karakteristiği p olan k sonlu cismi ve eleman sayısı p ile bölünen G grubu için aşağıdaki sonuç elde edilmiştir: Eğer her değişkene göre derecesi en fazla p - 1 olan değişmez polinomlarm, yörünge toplamlarının polinomları şeklinde ifade edilebileceklerini varsayarsak, o zaman değişmezlik halkasını fc(Vm]G oluşturan polinomların içinde derecesi en az ^^. ?Sı:/ > - olan bir polinom vardır. Burada V, boyutu n olan k üzerine bir vektör uzayını; Vm, V'nin m kopyasını ifade etmektedir ve m> n olmalıdır. Ayrıca t ile n/ aşağıdaki eşitsizlikleri sağlayan ve G grubunun ifade edilişine bağlı tam sayılardır; R~< t < n + 1 ve 2 < ri/ < p. Anahtar Kelimeler ve ifadeler. Modüler değişmezlik teorisi, sonlu cisim, sonlu grup. iv

ABSTRACT ON LOWER DEGREE BOUNDS FOR VECTOR INVARIANTS OVER FINITE FIELDS Uğur Madran M. S. in Mathematics Advisor: Prof. Dr. S.A. Stepanov September, 2000 The purpose of this thesis is to obtain a lower degree bound in modular invariant theory for a special case. More precisely, let G be any group and k be a finite field of positive characteristic p such that p divides G. We prove that if an invariant which has degree at most p- 1 with respect to each variable can be written as a polynomial in orbit sums of monomials, then the invariant ring A;[Vrm]G of m copies of the vector space V over k with dimV = n requires a generator of degree ^s=. ^y > ^ provided that m > n where t and nx depends on the representation of G such that f^] < t < n+ 1 and 2 < ni < p. Keywords and Phrases: Modular invariant theory, finite field, finite group. m