Code construction on modular curves

Abstract

ÖZET MODÜLER EĞRİLER ÜZERİNDE KOD İNŞASI Orhun Kara Matematik Bölümü, Doktora Tez Yöneticisi: Prof. Dr. Alexander Klyachko Ağustos, 2003 Bu tezde, modüler eğriler üzerinde hata düzeltme kodlarının inşası hakkında iki yaklaşım sunduk ve problemleri ifade ettik. Ayrıca bu problemlerden bazılarının çözümlerini verdik. Yaklaşımlardan birisi çoğunlukla cebirsel ve geometrik araçları kullanmak tadır. Bu yaklaşım, YQ{£) modüler eğrisinin düzlemdeki modeli olan ZQ(£y in bölgesel değişmezleri üzerinde aritmetik yapmaya dayanır. Z0(£y in herhangi bir Fp2 rasyonel noktasında sıfırlanan diferansiyellerin betimlenmesi temel alınmıştır. Bu differansiyellerin kümesini oluşturabilmek için, Z0(£y nin tekilliklerini betim lemek gerekmektedir. Z0(£y nin tekilliklerini, Z0(£) hem karekteristiği 0 olan cisimdeyken hem de karekteristiği p > 3 olan cisimdeyken ayrı ayrı betimledik. Tekillikleri analiz ederken £'in p'den farklı bir asal sayı olduğunu kabul ettik. Ayrıca kaç tane tekillik olduğunu hesapladık. Z0(£y in tekilliklerin yapısı iki tür eliptik eğriye bağlıdır: Sıradan eliptik eğrilerden gelen tekillikler ve süpertekil eliptik eğrilerden gelen tekillikler. Sıradan eliptik eğrilerden gelen tekilliklerin hepsi de çift noktadırlar. Süpertekil eliptik eğrilerden gelen tekillikler ise en karmaşık olanlardır ve bu şekilde bir tekil likten geçen ikiden fazla düzenli dallanma olabilir. Biz hem sıradan eliptik eğrilerden gelen tekillikler için ve hem de süpertekil eliptik eğrilerden gelen tekil likler için bu tekilliklerden gecen herhangi iki düzenli dallanmanın kontak mer tebesini hesapladık. Ayrıca Z^'m sonsuzda bulunan iki noktasının da kasp türü tekillikler olduğunu ve bu tekilliklerin xe = y*-1 eğrisinin O'daki tekilliğine analitik olarak denk olduğunu ispatladık. vıvıı Diğer yaklaşım modüler eğriler üzerinde hata düzeltme kodlarını PS,2(F^) modülü olarak betimlemeye dayanmaktadır. Bu yaklaşımda ana problem grup kodlarının yapılarını PS^F^) modül olarak ifade etmektir. Biz modüler eğriler üzerindeki grup kodlarının karakterlerini hesaplamak için yöreselleştirme formülünü kullanan bir metod önerdik. Ayrıca kanonik diferansiyele denk gelen grup kodunun karakterlerini hesapladık. Anahtar sözcükler: Modüler eğri, elliptik eğri, Goppa kodları, isogeni, endo- morfizma halkası, tekillik, kendiyle kesişme, süpertekil elliptik eğri, indirgeme, kaydırma, kasp, temsiller, karakterler.

ABSTRACT CODE CONSTRUCTION ON MODULAR CURVES Orhun Kara Ph.D. in Mathematics Supervisor: Prof. Dr. Alexander Klyachko August, 2003 In this thesis, we have introduced two approaches on code construction on modular curves and stated the problems step by step. Moreover, we have given solutions of some problems in road map of code construction. One of the approaches uses mostly geometric and algebraic tools. This ap proach studies local invariants of the plane model Zq(£) of the modular curve Yq(£) given by the modular equation <&^ in affine coordinates. The approach is based on describing the hyperplane of regular differentials of Z0(£) vanishing at a given Wp2 rational point. As constructing a basis for the regular differentials of Z0(£), we need to investigate its singularities. We have described the singu larities of Z0(£) for prime £ in both characteristic 0 and positive characteristic. ^We-have shownrthairall singularities` of of the `affme~part, '~Zq {£), are~^iHnter=~ sections. These self intersections are all simple nodes in characteristic 0 whereas the order of contact of any two smooth branches passing though a singular point may be arbitrarily large in characteristic p > 3 where p ^ £. Moreover the self intersections in characteristic zero are double. Indeed, structure of singularities of the affine curve Z0(£) essentially depends on two types of elliptic curves: The singularities corresponding to ordinary el liptic curves and the singularities corresponding to supersingular elliptic curves. The singularities corresponding to ordinary elliptic curves are all double points even though they are not necessarily simple nodes as in the case of character istic 0. The singularities corresponding to supersingular elliptic curves are the most complicated ones and it may happen that there are more then two smooth branches passing though such kind of a singular point. We have computed the order of contact of any two smooth branches passing though a singular point both for ordinary case and for supersingular case. ivWe have also proved that two points of Z0(£) at oo are cusps for odd prime £ which are analytically equivalent to the cusp of 0, given by the equation xe = yl~x. These two cusps are permuted by Atkin-Lehner involution. The multiplicity of singularity of each cusp is `~x/. This result is valid- in any characteristic p/2,3. The second approach is based on describing the Goppa codes on modular curve Y{£) as P5rL2(F^) module. The main problem in this approach is investigating the structure of a group code as PSL2{¥() module. We propose a way of computing the characters of representations of a group code by using the localization formula. Moreover, we give an example of computing the characters of the code which associated to a canonical divisor on Y(£). Keywords: Modular curve, elliptic curve, Goppa codes, isogeny, endomorphism ring, singularity, self intersection, supersingular elliptic curve, reduction, lifting, cusp, representations, characters.