Explicit reciprocity laws

Abstract

Karesel karşılıklılık yasası ilk olarak L. Euler ve A. Legendre tarafından iddia edildi ve Gauss tarafından ispatlandı. Gauss daha yüksek alanlara bu ilişkinin ilk genellemelerini yapmış ve üçüncü ve dördüncü dereceden karşılıklılık yasalarını bulmuştur. Eisenstein ve Kummer bu yasaları $/mathbb{Q}(/zeta_p, /sqrt[n](a))$ araştırmış ve benzer kısmi sonuçlar elde etmi?lerdir. Hilbert, bu yasayı tanımlamaya yarayan sembolü cebirsel fonksiyon alanlarında diferansiyel kalana eşdeğer olan ba?ka bir sembolle tanımlamış ve bu yeni sembolün özelliklerini kullanarak $/mathbb{Q}(/zeta_p,/sqrt[n](a))$ alan?ndaki kar??l?kl?l?k yasas?n? en genel haliyle elde etmiştir. Say? alanlar?nda en genel karşılıklılık yasası Hilbert'in 1900 yılında Paris'teki meşhur konferansında sordu?u 24 sorundan 9.'sudur. Witt ve Schmid cebirsel fonksiyon alanları için bu soruyu tüm yönleriyle çözdü. Hasse ve Artin bu cebirsel sayi alanlari için karşılıklılık yasasının belli asallardaki Hilbert sembollerinin çarpımına eşit olduğunu kanıtladı. Ancak bu sembollerin değerlerini hesaplamak kolay degildi ve açik bir şekilde sembolleri hesaplamak için ilk metodu geliştiren Shafarevich'ten önce sadece bazı kısmi durumlar için hesaplamalar yapılabildi. Shafarevich'in yöntemi daha sonra Vostokov ve Brückner tarafindan geliştirildi. Bu gelişmelerle birlikte Hilbert'in 9. soru tamamen cevaplanmış oldu. Bu tezde, karşılıklılık ilişkisini hem cebirsel fonksiyon alanları için hem de cebirsel sayı alanları için ispatlayacağız. Hilbert sembollerinin hesaplaması için geli?tirilen yöntemleri ele alacağız.

Quadratic reciprocity law was conjectured by Euler and Legendre, and proved by Gauss. Gauss made first generalizations of this relation to higher fields and derived cubic and biquadratic reciprocity laws. Eisenstein and Kummer proved similar relations for extension $/mathbb{Q}(/zeta_p, /sqrt[n]{a})$ partially. Hilbert identified the power residue symbol by norm residue symbol, the symbol of which he noticed the analogy to residue of a differential of an algebraic function field. He derived the properties of the norm residue symbol and proved the most explicit form of reciprocity relation in $/mathbb{Q}(/zeta_p, /sqrt[n]{a})$. He asked the most general form of explicit reciprocity laws as 9th question at his lecture in Paris 1900. Witt and Schmid solved this question for algebraic function fields. Hasse and Artin proved that the reciprocity law for algebraic number fields is equal to the product of the Hilbert symbol at certain primes. However, these symbols were not easy to calculate, and before Shafarevich, who gave explicit way to calculate the symbols, only some partial cases are treated. Shafarevich's method later improved by Vostokov and Brückner, solving the 9th problem of Hilbert. In this thesis, we prove the reciprocity relation for algebraic function fields as wel as for algebraic function fields, and provide the explicit formulas to calculate the norm residue symbols.