Indecomposable cycles on a product of curves

Abstract

Öncü çalışması [1] de, S. Bloch, $CH^n(X,m)$ ile gösterilen yüksek Chow döngülerini klasik durumun doğal bir genellemesi olarak tanımladı ve cebirsel izdüşümsel bir manifoldun rasyonel katsayılı yüksek Chow halkası ile yüksek $K$ teorisinin eşyapısal olduğunu ifade eden, Grothendieck Riemann Roch teoremini genelledi. Bloch'un bu parlak buluşu cebirsel döngüler ve $K$ teorisi çalışmalarına yeni bir bakış açısı getirdi. Bu tezde eğrilerin çarpımları için indirgenemez döngüler adı verilen ``önemli döngü sınıflarını` çalıştık. İndirgenemez döngüler, yüksek Chow grubu $CH^n(X,m)$ içinde $CH^1(X,1) /otimes CH^{n-1}(X)$ kesişim eşlemesinin görüntüsünden gelmeyen döngülerdir. Yeterince genel iki eliptik eğrinin çarpımı için indirgenemez döngüler grubu $CH_{ind}^2(X,1; /Qq)$' nin boş olmadığını ispatladık.

In his pioneering work /cite{Blo1}, S.Bloch introduced higher Chow groups, denoted by $CH^n(X,m)$ as a natural generalization of the classical case and generalized the Grothendieck amended Riemann Roch theorem to these groups, which states that the higher Chow ring and higher $K$-theory of a projective algebraic manifold are isomorphic working over rationals. This brilliant invention of Bloch brought a new insight to the study of algebraic cycles and $K$-theory. In this thesis, we study ``interesting cycle classes` , namely indecomposable cycles for products of curves. In the case $m=1$, indecomposable cycles are cycles in $CH^n(X,1)$ which do not come from the image of the intersection pairing $CH^1(X,1) /otimes CH^{n-1}(X)$. We prove that the group of indecomposable cycles, $CH_{ind}^2(X,1; /Qq)$, is nontrivial for a sufficiently general product of two elliptic curves.