Fusion systems in group representation theory

Abstract

Füzyon sistemleri teorisi grup temsil teorisi alanında önemli bir çalışma alanı haline gelmiştir. F bir füzyon sistemiolsun, M_F ise bu füzyon sistemine karşılık gelen Mackey kategorisi olsun. Bu Mackey kategorisi ve p-permütasyoncebirlerinin füzyon sistemleri temel ilgi alanımızı oluşturmaktadır.Tezin ilk bölümünde, M_F kategorisinin kompleks sayılar üzerinde yarıbasit olduğuna dair olan ispatı Boltje-Danz'ın yaptığından farklı bir şekilde yaptık. Onların makalesinde yapılanları takip ederek, M_F'in quiver cebirine karşılık gelen bir hayalet cebiri oluşturduk. Daha sonra bu hayalet cebirinin, merkezi, birbirine dik, ilkel eşgüçlü elemanları için bir formül bulduk. Bu formülü, M_F'in kompleks quiver cebirinin yarıbasitliğini göstermek için alternatif bir ispat olarak kullandık.Tezin ikinci bölümünde, doymuş füzyon sistemlerine olanak sağlayan p-permütasyon cebirlerinin bulunması problemineyoğunlaştık. Bu problem, Kessar-Kunugi-Mutsihashi tarafından çalışılmıştı. Onların makalesinde, sözünü ettiğimiz problem Brauer-parçalanamaz özelliğine sahip modüller bulmaya indirgendi. Biz de bazı farklı özel füzyon sistemleri durumunda, Brauer-parçalanamaz modüller bulunduğunu gösterdik. Son bölümmde, gerçel tek terimli Burnside halkasını kullanarak gerçel temsilleri çalıştık. Bir gerçel temsilin altgruplar tarafından sabitlenen alt uzaylarıyla ilgili bir ilişki bulduk.Anahtar sozcukler: fuzyon sistemi, Mackey kategorisi, yarbasit, p-permutasyon cebiri, Brauer parcalanamazlg, tek terimli Burnside halkas.

Results on the Mackey category M_F corresponding to a fusion system $/F$ and fusion systems defined on p-permutation algebras are our main concern. In the first part, we give a new proof of semisimplicity of M_F over complex numbers by using a different method than the method used by Boltje and Danz. Following their work, we construct the ghost algebracorresponding to the quiver algebra of M_F which is isomorphic to the quiver algebra. We then find a formula forthe centrally primitive mutually orthogonal idempotents of this ghost algebra. Then we use this formula to give an alternative proof of semisimplicity of the quiver algebra of M_F over the complex numbers. In the second part, we focus on finding classes of p-permutation algebras which give rise to a saturated fusion system which has been studied by Kessar-Kunugi-Mutsihashi. By specializing to a particular p-permutation algebra and using a result of them, the question is reduced to finding Brauer indecomposable $p$-permutation modules. We show for some particular cases of fusion systemswe have Brauer indecomposability. In the last part, we study real representations using the real monomial Burnside ring. We deduce a relation on the dimensions of the subgroup-fixed subspaces of a real representation.Keywords: fusion system, Mackey category, semisimplicity, p-permutation algebra, Brauer indeomposability, monomial Burnside ring