LEGENDRE TRANSFORMASYONLARININ TULCZYJEW İNŞASI

Abstract

Mekanik, Lagrange mekanigi ve Hamilton mekanigi olmak üzere iki farklı bakısaçısına sahiptir. Legendre transformasyonları bu iki temel yaklasım arasındakitransformasyonlardır. Fakat bu transformasyon her zaman mümkün olmayabilir. Bu tezde,Legendre transformasyonlarının, özellikle Tulczyjew'in `The Legendre Transformations` adlımakalesinden yola çıkarak, genel bir tanımını yapmak ve bu transformasyonlar için birgeometrik yapı insa etmek amaçlanmıstır. Kurulacak olan geometrik yapının önemi, klasikyaklasımdaki en önemli kısıtlamalardan biri olan Hessian kosuluna gerek kalmadan Legendretransformasyonlarının insasını olası kılmasıdır.Tezde dinamik sistem, Lagrange altkatmanları ile ifade edilmis ve altkatmanları üretendogurucu fonksiyon kavramı yerine daha genel olan dogurucu obje kavramı kullanılmıstır. BirLagrange altkatmanı farklı dogurucu objelerle üretilebilinir. Bu gerçekten hareketle Hamiltonve Lagrange sistemleri aynı dinamigi, yani aynı Lagrange altkatmanını, üreten farklı dogurucuobjeler olarak tanımlanmıstır. Verilen bir dogurucu objeden aynı altkatmanı üreten baska birdogurucu objenin insasının hangi sartlarda ve nasıl mümkün oldugunu incelemek, tezdeçalısılan diger bir önemli konudur. Bu geçis geometrik bir yapıya büründürülmüs ve Legendretransformasyonu olarak adlandırılmıstır. Bu yapının isleyisine mekanigin degisik alanlarındanörnekler verilmistir.

Mechanics has two main points of view, Lagrangian mechanics and Hamiltonianmechanics. Transformations between Lagrangian mechanics and Hamiltonian mechanics arecalled Legendre transformations. In this thesis, it is aimed to give a general definition of theLegendre transformations and to construct a geometric structure for these transformations.This thesis is based on Tulczyjew's paper `The Legendre Transformations`. This geometricconstruction makes Legendre transformations possible without satisfying one of the mostimportant conditions of classical approach, the Hessian condition.In the thesis, dynamics are represented by Lagrangian submanifolds. In general,Lagrangian submanifolds are generated by generating functions, but in the thesis, concepts ofgenerating objects are used instead of generating functions to widen the application area. ALagrangian submanifold can be produced by two different generating objects. In the light ofthis fact, Hamilton and Lagrange systems are defined as the generating objects, which producethe same Lagrangian submanifold, in other words, same dynamics. It is possible to constructanother generating object from a given generating object, which produces the same dynamics.In the thesis, this construction is called Legendre transformation and some examples forvarious areas of mechanics are provided.