Global bi-Hamiltonian structure of three dimensional dynamical systems

Abstract

Bu tezde üç boyutlu manifoldlar üzerinde hiç sıfır olmayan bir vektör alanına karşılık gelen bi-Hamiltonyen yapının lokal varlığı için koşullar sadece verilen vektör alanı kullanılarak elde edilmiştir. Üç boyutlu bir manifold üzerinde hiç sıfır olmayan her vektör alanının lokal olarak bi-Hamiltonyen olduğu gösterilmiştir. Daha sonra, lokal varlıkla ilişkili denklemler üzerinde çalışarak, lokal bi-Hamiltonyen yapıların genişletilebilmesinin engelleri elde edilmiştir. Bundan sonra, bu engeller verilen vektör alanının normal demetiyle ilişkili karakteristik sınıflar cinsinden ifade edilmiştir. Üç boyutlu bir manifold üzerinde hiç sıfır olmayan bir vektör alanının global olarak bi-Hamiltonyen olması için gerek ve yeter şartın vektör alanının normal demetinin Chern sınıfının ve vektör alanı ile tanımlanan transversal holomorfik kompleks ek-boyutu bir yapraklanmanın Bott sınfının sıfır olması olduğu gösterilmiştir.

In this thesis the conditions for the local existence of the bi-Hamiltonian structure corresponding to a non-vanishing vector field on three dimensional manifolds are obtained by using the given vector field alone. It is shown that any non-vanishing vector field on a three dimensional manifold is locally bi-Hamiltonian. Then by working on the equations related with the local existence, the obstructions to extension of local bi-Hamiltonian structure are obtained. After that, these obstructions are expressed in terms of the characteristic classes related with the normal bundle of the given vector field. It is shown that any non-vanishing vector field on a three dimensional manifold is globally bi-Hamiltonian if and only if the Chern class of the normal bundle of the vector field and Bott class of the transversally holomorphic complex codimension one foliation defined by the vector field vanishes.