Space time evolution of dynamical systems with few degrees of freedom

Abstract

Bu tez çalışmasında düşük boyutlu hareket denklemleriyle modellenmiş fiziksel sitemlerin kaotik davranışları incelenmektedir. Kaos paradigması 1960 ların sonunda ortaya atıldı. O zamandan beri, bu alandaki araştırmaların niteliği ve niceliği hızlı bir şekilde artmaktadır.İlk örnek olarak, Lagranjiyen bir dinamik sistem olan Yang-Mills-Higgs sisteminin kaotik yapısı çalışılmıştır. Bu sistem yerel düzensizlikler gösterir fakat ani simetri kırılmalarıyla küresel düzenli faza geçiş gösterir. Kaotik davranış ve kaostan düzene geçiş analiz edilmiştir. Salınım terimi eklenerek oluşan kaostan düzene geçiş bölgesi saptanmıştır. İkinci örnek olarak, kısıtlı sistem olarak alınması gereken (Lorenz-Haken denklemleri olarak da bilinen) Maxwell-Bloch denklemlerinin parametre aralıklarının kaotik davranış bölgeleri incelenmiştir.Bu tezin ana çalışması, Sakarya nehrinin aylık ortalama debi verilerinin yani deneysel olan zaman serisi verilerinde kaotik davranış saptanması içermektedir. Hareketteki düzensizlik, başlangıç koşullarına olan aşırı hassasiyet ve tahmin edilememezlik gibi kaosun temel karakteristikleri doğrusal olmayan zaman serileri metodları ile anlaşılmıştır. Bu verileri kullanarak, Sakarya nehir akışının olası düşük boyutlu davranışı araştırılmıştır. Kaotik dinamiği ortaya çıkarmak için, en büyük pozitif Lyapunov üsteli hesaplanması faz uzayının tekrar inşa edilmesi metodu ile elde edilmiştir. Yaklaşım skaler zaman serilerinden gerçek sistemin değişmezlerinin kestirilebileceği yerel eşdeğer faz uzayını yeniden yapılandırır. En büyük Lyapunov üstelin pozitif değeri hesaplanması (gözlenmesi), olası kaotik davranışın işareti olarak görülüp, kabul edilmiştir. Analiz edilen veri Sakarya nehrini besleyen on bir alt nehrin 1960-2000 yılları arasında aylık ortalama debi değerlerini içermektedir.

The thesis work involves analysis of chaotic behavior in physical systems modelled by low dimensional equation of motion. The paradigm of chaos became prominent in the late 1960's. This has stimulated interest in this field, causing a rapid rise in the quality and quantity of research. As one example of analysing chaotic behavior from a Lagrangian dynamical system, the Yang-Mills-Higgs system is studied which exhibits local instability but possesses a globally ordered phase by spantaneous symmetry breaking. Chaotic behavior and chaos to order transitions are analyzed. Addition of oscillatory term the region where the chaos-order transition occurs identified with an eye on transition back to order.As a second example, regions of chaotic behavior in the parameter space of the Maxwell-Bloch equations (also Lorenz-Haken equations) has been studied as a constrained system.The main part of this work involves identification of chaos in a set of experimental data, the monthly average discharge data of Sakarya River directly. Basic characteristics of chaos such as the irregularity of motion, unpredictability and sensitivity to intial conditions can thus be understood using nonlinear time series methods.. Using this data, possible low dimensional chaotic behavior of Sakarya river flow is investigated. To reveal the chaotic dynamics, maximal positive Lyapunov exponent is calculated from the reconstructed phase space obtained using the phase space reconstruction method. The approach reconstructs a locally equivalent phase space from the scalar time series from which the real system's invariants can be estimated. Positive values for the maximal Lyapunov exponents have been calculated and this is an accepted indicator for chaotic behavior possibility. Analysed data contains the montly average flow rates of eleven main branches of Sakarya river through the years 1960-2000.