Jackknife ve Bootstrop parametre tahmin yöntemlerinin etkinliğinin araştırılması

Abstract

İÜ ÖZET Bu araştırma, olasılık dağılım fonksiyonu bilinmeyen bir dağılımdan alınan küçük hacimli örnekler aracılığı ile topluma ilişkin parametre tahminlerinde yararlanılan Jackknife ve Bootstrap parametrik olmayan parametre talimin yöntemlerinin etkinliğini matematiksel ümit yöntemi ile karşılaştırmak amacıyla yapılmıştır. Yöntemlerin ortalama ve standart sapmaları N(100ü0) parametreli Normal, W(X;3,2) parametreli Weibull ve E(X;10) parametreli üstel dağılımlardan türetilen X değişkenlerinden hesaplanmıştır. Bu türetim, örnek hacmi n=10,20,30,50,100,200,300,500 ve her türetim sayısında tekrar sayısı R=10,20, 30,50,100,200,500 olacak şekilde yapılmıştır. Normal, üstel ve Weibull dağılımı gösteren türetilmiş verilerden Jackknife ve Bootstrap yöntemleri ile hesaplanan ortalamalar n sayısı artarken toplum ortalamasına çok yakın değerler almıştır. Matematiksel ümit değerleri ile elde edilen parametre tahminleri ile Jackknife ve Bootstrap yöntemi ile elde edilen parametre tahminleri arasında benzerlikler bulunmuştur, n sabit tuttüup tekrar sayısı arttırıldığında Bootstrap ve Jackknife yöntemleri ile elde edilen istatistiklerde önemli değişmeler olmamış, istatistiklerin değişim aralıkları önemli düzeyde küçülmüştür. Parametre tahminleri ile u değerleri arasında önemli farklılıklar bulunmamıştır (P>0.05). n 30'dan büyük olduğunda istatistikler u değerine süratle yaklaşmıştır.iv Bartlett testine göre tüm örnek türetimlerinin varyansları homojendir. Türetim sayısı arttıkça Jackknife standart sapma tahminleri toplumun standart sapmalarından daha küçüktür (P>0.05). Türetimlerle ilgili istatistikler kendi içlerinde birbiriyle tutarlı ve tekrar sayısı artarken minimum varyanslı olarak bulunmuştur. Bootstrap yöntemi standart sapma değerleri tekrar sayısı arttıkça toplumun sigma değerinden önemli düzeyde küçük değerler olarak hesaplanmıştır (P<0.001). Bootstrap yönteminde türetimlerle ilgili istatistikler kendi içlerinde birbiriyle tutarlı olmakla beraber toplum değerleriyle önemli düzeyde farklılık göstermiştir, örnek hacimleri artarken standart sapma değerleri küçülmüş ve sigma değerinden yaklaşık n=10 için 1/9'u kadar, n=500 için l/500`ü kadar değerler almıştır. Tüm dağılım varsayımlarında Jackknife ve Bootstrap ortalamaları birbirleriyle benzerlik göstermiştir. Her iki yöntemde de ortalama istatistikleri dağılım türünden etkilenmemiştir. Standart sapma değerleri bakımından Jackknife yöntemi Bootstrap yönteminden farklılaşmaktadır. Bootstrap yöntemi çok küçük standart sapma değerleri vermekte ise de türetimlerde alınan parametrik değerlerle önemli farklılaşmalar göstermektedir (P<0.001). Jackknife yöntemi ise parametrik değerler ile benzer sonuçlar vermektedir (P>0.05). Toplumun standart sapma ve ortalamalarının tahmininde Jackknife yöntemi matematiksel ümit yöntemi ile benzer sonuçlar, Bootstrap yöntemi ile farklı sonuçlar vermektedir.V» X değişkeninin dağılım fonksiyonunun bilinmediği durumlarda toplumun parametre tahmininde, Jackknife yöntemi Bootstrap yöntemine göre daha tutarlıdır. 10<a<30 olduğu koşulda Jackknife ile tahminlenen ortalama geçerli, tutarlı fakat minimum varyansa sahip olmayan bir istatistiktir, n £ 30 koşulunda ise bir parametre tahmininde bulunması gereken özellikleri taşıyan parametre tahminleri vermektedir. Parametrik yöntemlerin uygulanmasının mümkün olmadığı ya da kullanılmasının doğru olmayacağı durumlarda Jackknife yöntemi toplum parametrelerinin tahminlerime sinde parametrik yöntemlere benzer tutarlı tahminler vermektedir.

vi SUMMARY This research has been realized to compare efficiency of the Bootstrap and the Jackknife methods that being nonparametric parameter estimating methods with mathematical expectation method on samples that drawn small size from unknown distribution function population. The mean and standart deviations of methods have calculated from X variables generated from Normal Distribution with N(100,10) parameters, Weibull Distribution with W(X;3,2) parameters and Exponential Distribution with E(X£LO) parameter. This generation has done according to the number of sample size n=10,20,30,50,100,200,300,500 and the number of replication R=10,20, 30,50,100,200,500 in every generation. The calculated means with the Jackknife and the Bootstrap Methods from Normal, Exponential and Weibull Distributions had similar values to population means when n was increasing. It had found similarity among the mathematical expectation values and the parameter estimates calculated by the Bootstrap and the Jackknife methods. When the number of replication was increased while n was constant, the statistics found with the Bootstrap and the Jackknife methods had not much important changing and the ranges of in the statistics were decreased. There was not significant difference among the estimates of parameter and the value of jx (P>0.05). When n was greater than 30, the statistics approached rapidly to the value of pLvii The variances of all samples generations were homogen according to Bartlett's test. But the estimates of the Jackknife's standart deviation were smaller than the standart deviation of population when the number of replication was increasing (P>0.05). The statistics interested in generation have had minimum variances and were consequent with each other when the number of replication was increasing. The Bootstrap's standart deviations have calculated smaller than the population's sigma value when the number of replication was increasing (P<0.001). Although the statistics of the Bootstrap were consequent with each other, they had differed from the value of population. While the sample sise was increasing, standart deviations had decreased gradually and taken aproximately the values of 1/9 for n=10 and 1/500 for n=500 of sigma value. The means of the Jackknife and the Bootstrap were similar in all of distributions assumptions. The means of statistics has not been effected from the type of distribution of variables in both methods. The Jackknife method's standart deviations had differed from the Bootstrap methods'. Although the Bootstrap's standart deviations values had had small value in generation they had became significantly different and small from population parameter that assumed in generation (P<0.001). The statistics of the Jackknife method were similar with population parameters (P>0.05). To estimate the mean and the standart deviation of population, the Jackknife method's results were similar with mathematical expectations but the Bootstrap method's results not similar.viii We can suppose the Jackknife method is consistent than the Bootstrap method to estimate of population parameter at the conditions of the distribution functions of X variable is not known. While n İs equal 10 and lower than 30, the Jackknife's estimated mean is consistent and efficient but not minimum varianced statistics. If n is equal and greater than 30, it gives the estimation having statistical features. When the parametric methods must not use or are not true, the Jackknife method gives consistent estimations like parametric methods' for the populations parameter.