3-boyutlu dinamik sistemlerin eşdeğerlik problemi

Abstract

Bu tez çalışmasında 3-boyutlu bir manifold üzerinde tanımlı bir otonom dinamiksistem için yerel eşdeğerlik problemi Cartan'ın eşdeğerlik metodu kullanılarak ele alınmıştır. Otonom dinamik sistemler için eşdeğerlik probleminin çözümü, dinamik sistemin integral eğrisi yönündeki diferensiyel1-formun integre edilip edilememesiyle belirlenen iki dala ayrılmıştır. İntegre edilebilir durum için genişletilmiş herhangi iki analitik eşçatının ve dolayısıyla genişletilmiş herhangi iki analitik dinamik sistemin tek değişkenli bir fonksiyonla belirlenen bir difeomorfizma sınıfı ile her zaman birbirine dönüştürülebileceği ispatlanmıştır. İntegre edilemez durumunda ise yine genişletilmiş herhangi iki analitik dinamik sistemin tek değişkenli bir fonksiyonla belirlenen bir difeomorfizma sınıfı ile her zaman birbirine dönüştürülebileceği gösterilmiştir. İntegre edilemez durum için problem taban manifoldu üzerine indirgenerek, problemin temel yapı invaryantlarınınsayısının ve integral eğrisi üzerindeki koordinata bağlılığının dinamik sistemi belirleyenvektör alanının diverjasının sıfır olup olmamasına göre belirlendiği ispatlanmıştır. Diverjansısıfır olan bir vektör alanı için taban manifoldu üzerinde bileşenleri Hamiltonyenlerinfonksiyonlarına karşılık gelen bir flat konneksiyon tanımlanmıştır. Buna göre problemintemel yapı invaryantlarının ve onların eşçatı türevlerinin dinamik sistemin akış eğrisi boyuncadeğişmediği, diğer bir ifadeyle, Hamiltonyenler cinsinden yazılabileceği gösterilmiş ve dolayısıyla iki dinamik sistemin eşdeğer olabilmesi için gerek ve yeter şartlarınsadece Hamiltonyen fonksiyonlarına bağlı olarak belirleneceği gösterilmiştir. Diverjansınsıfırdan farklı olduğu durumda da taban manifoldu üzerinde bir flat konneksiyon elde edilmiş ve problemi temsil eden eşçatının yapı denklemleri hesaplanmıştır. Yapı invaryantlarınıntamamının sıfır olması durumunda ise yapı denklemleriyle belirlenen Lie cebiriHeisenberg cebirine izomorfik olduğu ve dolayısıyla problemin tanımlandığı manifoldunyerel olarak Heisenberg grubu olduğu görülmüştür.

In this thesis, local equivalence problem for an autonomous dynamical system ona three dimensional manifold is considered by means of Cartan's method of equivalence.The solution of equivalence problem for an autonomous dynamical systems separates into two branchesdetermined by integrability and nonintegrability of differential 1-form 1 which is a 1-form along the integral curve of the dynamical system. For integrable case, it is proved that all prolonged analytic coframes, and therefore all prolonged analytic dynamical systems, can be mapped to each other by a class of diffeomorphisms determined by a single function of a one variable. For the latter case, it is also proved that all prolonged analytic coframes, and therefore all prolonged analytic dynamical systems, can be mapped to each other by a class of diffeomorphisms determined by a single function of a one variable. For non-integrable case, problem is reduced to the base manifold and it is proved that number of the fundamental structures invariants and their dependenceon a coordinate along the integral curve are determined according to whether the vectorfield is divergence free or not. For a divergence free vector field a flat connection, whosecomponents are corresponding to the functions of Hamiltonians, is obtained. Accordingly,it is shown that fundamental invariants of the problem and their coframe derivativesare invariant along the flow of the dynamical system, in other words, they can be interpretedas a functions of Hamiltonians and therefore, it is seen that necessary and sufficientconditions for equivalence of dynamical system are determined only by the Hamiltonianfunctions. Also for a vector field with non-zero divergence a flat connection is obtainedon a base manifold and structure equations of coframe, representing a dynamical system,are figured out. In the case of vanishing both of the structures functions, it is seen thatLie algebra determined by structure equations is isomorphic to Heisenberg algebra andthereby underlying manifold is locally Heisenberg group.