Sürekli ortamlar mekaniğinin bünye denklemlerinde invaryantların belirlenmesi

Abstract

ÖZET Mühendislik malzemelerinin bünye denklemleri ve bu bağmtılardaki invaryant parametreler çağdaş sürekli ortamlar mekaniğinde gittikçe artan bir öneme ve anahtar bir role sahip olmaktadır. Bir sürekli ortamın davranışını matematiksel olarak ifade edebilmek için, serbest enerjinin hangi argümanlara bağlı olduğunu ifade ettikten sonra, bu argümanların invanyant formlarını tespit etmek gerekir. Bu argümanlar genellikle simetrik ve/veya antisimetrik matrisler ya da polar vektörler şeklinde ortaya çıkmaktadır. __ Bu çalışmada, vektörlerin ve tansörlerin invaryantlan, indirgenebilen ve indirgenemeyen invaryantlar ve ayrıca tamlık bazları incelenmiştir. Özellikle simetrik matrislere ait invanyant değerlerin belirlenmesi üzerinde durulmuştur. İnvaryantlar teorisinde ana problem: diğer bütün invaryantların onlardan üretildiği ve verilen bir vektör ve tansörler cümlesi için fazladan eleman içermeyen temel bir invaryant cümlesini tespit etmektir. Cayley-Hamilton teoreminin invanyantlar teorisinde nasıl kullanıldığı detaylı bir şekilde açıklanmıştır. Uygun ortogonal grup için tamlık bazlarını oluşturan matris çarpımlarının trace' leri dört adet simetrik matris için çizelge halinde verilmiştir. Simetrik matrislerin invaryant değerlerini, determinantlarını, terslerini, üslerini, özdeğerlerini ve özvektörlerini hesaplamak için MATLAB programının nasıl kullanıldığı izah edilmiştir. Son olarak, bünye denklemlerinde invaryant değerlerin nasıl yer aldığını göstermek için izotropik hiperelastik bir ortam seçilmiştir. ANAHTAR KELİMELER: Anizotropi, Bünye Denklemleri, İnvaryantlar, İzotropi, Ortogonal Gruplar, Tamlık Bazları.

ABSTRACT Constitutive equations of Engineering materials and invariant parameters in these relationships play an increasing important and key role in contemporary continuum mechanics. In order to be able to express the behavior of a continuous medium in mathematically, it has to be determined the arguments of free energy. And then, invariant form of these argumants have to be individually considered in the same sense. These argumants are usually symmetric and/or skew-symmetric matrices and sometimes polar vectors. In this study; invariants of vectors and tensors, reducible and irreducible invariants and also integrity basis are studied. The main problem in the theory of invariants is determine a set of basic invariants from which all other invariants can be generated and which contains no excessive members, for a given set of vectors and tensors. Especially, determining for invariant parameters of symmetric matrices are examined. For proper orthogonal group, traces of matrix products that creates integrity basis have been given in atable for four symmetric matrices. It is explained how the Cayley-Hamilton theorem is used in the invariant theory in detail. How using the MATLAB program for determining invariant parameters, determinats, inverces, powers, eigenvalues and eigenvectors of symmetric matrices has been explained. Lastly, to show the places of invariant values in the constitutive equations, an isotropic hyperelastic media is choosen. KEY WORDS : Anisotropy, Constitutive Equations, Integrity Bases, Invariants, Isotropy, Orthogonal Groups.