Yoğunluk kavramı ve istatistiksel yakınsallık

Abstract

ÖZET Bu tez beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, konunun tarihi gelişimi verilmiştir. ikinci bölümde, pozitif tamsayılar kümesinde yoğunluğun aksiyomatik tanımı ve rilip, yoğunluk fonksiyonunun özellikleri incelenmiştir. Ayrıca, toplamsallık özel liği (A.P.) tammlanarak bu özelliğin, bazı yoğunluk örneklerinde sağlanıp sağlan madığı incelenmiştir. Üçüncü bölümde, istatistiksel yakınsaklıkla ilgili bazı sonuçlar verilmiş, özellikle, bu konuda önemli bir yer tutan Ayrışım(Decomposition) teoremi verilmiştir. İs tatistiksel limit, istatistiksel yığılma ve limit noktalarının kümeleri arasındaki bazı bağıntılar Ayrışım teoremi yardımıyla araştırılmıştır. Bir x = (xn) reel sayı dizisinin L sayısına istatistiksel yakınsak olması için gerek ve yeter koşulun dizinin tek ve çift indisli terimlerinden oluşan altdizilerinin de aynı L sayısına istatistiksel yakınsak olması ispat edilmiştir. Dördüncü bölümde, istatistiksel monotonluk ve sınırlılık kavramları incelenerek bu kavramların klasik analizde kullanıldığı monoton yakınsaklık teoremi ve ayrıca Bolzano-Weierstrass teoreminin benzerleri istatistiksel yakınsak diziler için ve rilmiştir. Son bölümde ise, istatistiksel limit infimum ve supremum kavramları incelenerek örnekler verilmiştir. ANAHTAR KELİMELER: Toplamsallık özelliği, asimptotik yoğunluk, doğal yoğunluk, istatistiksel yakınsaklık, istatistiksel sınırlılık.

m ABSTRACT This thesis consists of five chapters. In the first chapter, historical development of the topic has been given. In the second chapter, the axiomatic definition of density in the set of positive integers has been given and the properties of density function have been investi gated. In addition, by defining the additivity property, it has been investigated whether this property is realized in some density samples or not. In the third chapter, some results concerning statistical convergence have been given. In particular, Decomposition theorem playing an important role in this topic, has been given. Some relations among statistical ümit, statistical cluster and the sets of limit points have been established with the help of Decomposition theorem. We also show that, a real sequence x = (xn) is statistically convergent to L if and only if even and odd subsequences are also statistically convergent to the same number L. In the fourth chapter, the concepts of statistical monotonicity and boundedness have been given. The analogues of monotonic convergence theorem and Bolzano- Weierstrass theorem in the classical analysis have been given for statistical con vergent sequences. In the final chapter, we consider the concepts of statistical limit inferior and superior. We give some examples. KEY WORDS: Additivity property, asymptotic density, natural density, sta tistical convergence, statistical boundedness.