Kendine eş olmayan matris potansiyele sahip Schrödinger operatörünün spektral analizi

Abstract

ÖZET Bu tez dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, konunun tarihsel gelişimi verilmiştir. İkinci bölümde, W, Hubert uzayında lineer operatörler teorisi göz önünde bu lundurularak, bazı temel tanımlar verilmiştir. Bunun yanında dilatasyon tanımı verilmiş ve bir disipatif operatörün dilatasyonunu kurmak için gerekli tanım ve teoremler ifade edilmiştir. Üçüncü bölümde, Weyl limit-çember durumunda simetrik Schrödinger operatörü incelenmiştir. Reel potansiyele sahip bu operatörün maksimal disipatif genişleme leri tanımlanmıştır. Daha sonra, iki tip ayrık sınır koşuluna sahip disipatif o peratörler, `sıfırda disipatiflik` ve `sonsuzda disipatiflik` durumunda çalışılmıştır. Bu operatörlerin kendine eş dilatasyonu ve bir modeli kurulmuş ve karakteristik fonksiyonu hesaplanmıştır. Disipatif operatörlerin özvektörlerinin tamlık teorem leri verilmiştir. Dördüncü bölümde ise, Lı ((0, oo) ;E) uzayında (dimi? = n < oo), (n,n) indis defektli matris potansiyele sahip Lq minimal simetrik operatörünün genişlemeleri olan maksimal disipatif Schrödinger operatörleri incelenmiştir. Disipatif ope ratörün kendine eş dilatasyonu kurulmuş, Lax-Phillips saçılma teorisi kullanılarak dilatasyonun spektral analizi yapılmış ve saçılma matrisi bulunmuştur. Disi patif operatörün fonksiyonel modeli oluşturulmuş ve karakteristik fonksiyonu be lirlenmiştir. Karakteristik fonksiyonun analitik özellikleri kullanılarak, disipatif Schrödinger operatörünün özvektörlerinin tamlık teoremleri ispatlanmıştır. Anahtar Kelimeler: Simetrik diferensiyel operatör, kendine eş olmayan operatör, disipatif Schrödinger operatörü, indis defekt, dilatasyon, fonksiyonel model, karakteristik fonksiyon, saçılma teorisi.

ABSTRACT This thesis consists of four chapters. In the first chapter, the historical progress of the subject is taken into considered. In the second chapter, some essential definitions is given in Hubert space H us ing linear operators theory. The definition of the dilation is also given and the definitions and the theorems required for constructing dilation of a dissipative operator is mentioned. In the third chapter, symmetric Schrödinger operator is studied in Weyl limit- circle case. Maximal dissipative extensions of this operator with the real potential are defined. Further, the dissipative operators with the seperated boundary con ditions of two types are studied: `dissipativity at zero` and `dissipativitiy at infinity`. A selfadjoint dilation, a model of these operators are constructed, and the characteristic function is computed. Completeness theorems for eigenvectors of dissipative operator are given. In the fourth chapter, maximal dissipative Schrödinger operators with a matrix potential are studied in L2 ((0, oo) ; E) (dimi? = n < oo) that the extensions of minimal symmetric operator Lq with defect index (n,n). A selfadjoint dilation of a dissipative operator is constructed, using the Lax-Phillips scattering theory, the spectral analysis of a dilation is carried out, and the scattering matrix of a dilation is founded. A functional model of the dissipative operator is constructed and its characteristic function's analytic properties, theorems on the complete ness of eigenvectors and associated vectors of a dissipative Schrödinger operator are proved. Keywords: Symmetric differential operator, nonselfadjoint operator, dissipa tive Schrödinger operator, defect index, dilation, functional model, characteristics function, scattering theory.