Semi-öklidyen uzaylarda dejenere eğriler

Abstract

iiiÖZET( SEMİ-ÖKLİDYEN UZAYLARDA DEJENERE EĞRİLER )Bu tez çalışmasının amacı indeksi üç olan semi-Öklidyen uzaylarda dejenereeğrilerin Frenet çatılarını ve Frenet çatılarının yardımıyla Cartan çatılarını eldeetmektir. Daha sonra da keyfi indeksler için bazı sonuçlara varılmasıhedeflenmektedir. Bunun için, indeksin iki olduğu durumdaki çatılar incelenmiş veyeni duruma uygun değişiklikler yapılmıştır.Bu çalışma beş bölümden oluşmaktadır.Birinci bölümde; konunun tarihsel gelişimine yer verildi.İkinci bölümde; simetrik bilineer formlar, semi-Öklidyen uzaylar, dejenere eğriler vedejenere eğriler için Cartan çatısı ile ilgili temel tanım ve teoremler verildi.Üçüncü bölümde; indeksi iki olan bir semi-Öklidyen uzayda dejenere eğrilerin tip-aileleri ve bu ailelerin Frenet formülleri elde edildi. Daha sonra, Frenet formülleriyardımıyla Cartan çatısı ve eğrilikleri verilerek varlık ve teklik teoremi ifade edildi.Dördüncü bölümde; indeksi üç olan bir semi-Öklidyen uzayda dejenere eğrilerin tip-aileleri incelenerek bu aileler için Frenet formülleri elde edildi. Daha sonra, Frenetformülleri yardımıyla Cartan çatısı ve eğrilikleri verilerek varlık ve teklik teoremiifade edildi. İndeksi üç olan semi-Öklidyen uzayda Cartan çatısı kullanılarak Cartaneğriliklerini hesaplamaya örnekler verildi.Beşinci ve son bölümde; keyfi indeksli bir semi-Öklidyen uzayda dejenere eğrilerindejenerelik derecesi, aile sayısı verilerek Cartan eğriliklerinin sayısına bağlı olarakbir sınıflama verildi.Anahtar Kelimeler: Semi-Öklidyen uzay, Dejenere eğri, Frenet formülleri, Cartançatısı.

ivABSTRACT(DEGENERATE CURVES IN SEMI-EUCLIDEAN SPACES)It is aimed to obtain Frenet frames and the Cartan frame of a degenerate curve in asemi-Euclidean space of index three.Then, some results for arbitrary indexes will begiven. For this purpose, the frames in the case index is two are studied, and aftersuitable changes the new frames are obtained.This thesis consist of five chapters.In the first chapter; the historical background of the subject was considered.In the second chapter; some fundamental definitions and theorems about symmetricbilinear forms, semi-Euclidean spaces, degenerate curves and Cartan frame fordegenerate curves were given.In the third chapter; Frenet equations of all possible family-types of degeneratecurves in a semi-Euclidean space of index 2 were obtained.After giving the Cartanframe and curvatures, the existence and uniqueness theorems were stated.In the fourth chapter; Frenet equations of all possible family-types of degeneratecurves in a semi-Euclidean space of index 3 were obtained. After giving the Cartanframe and curvatures, the existence and uniqueness theorems were stated. Someexamples about calculation of the Cartan curvatures by using the Cartan frame in asemi-Euclidean space of index 3 were given.In the final chapter; a classification for degenerate curves related to degenerationdegree, number of families and the number of the Cartan curvatures were given.Keywords: Semi-Euclidean space, Degenerate curve, Frenet equations, Cartanframe.