Minkowski 3-uzayında bishop çatısına göre öteleme yüzeyleri

Abstract

Bu çalışmada düzlemsel olmayan uzay eğrileri tarafından oluşturulan öteleme yüzeyleri Minkowski 3-uzayında Bishop çatısına göre incelenmiştir. Elde edilen spacelike ve timelike öteleme yüzeylerinin birinci temel form, ikinci temel form, Gauss eğriliği ve ortalama eğrilikleri hesaplanmıştır.Bu tez çalışması üç bölümden oluşmuştur. Birinci bölümde, Öklid uzaylarında ve 3-boyutlu Minkowski uzayında Frenet ve Darboux çatısına göre öteleme yüzeyleri üzerine yapılan çalışmalar üzerine literatür bilgisi verilmiştir. Ayrıca Öklid uzayında Frenet çatısına alternatif bir çatı olan Bishop çatı ve Darboux çatısına göre öteleme yüzeyleri ile ilgili yapılmış çalışmalar hakkında bilgi verilmiştir. İkinci bölümde, 3-boyutlu Öklid uzayında eğriler ve yüzeyler teorisi ile ilgili temel kavramlara yer verilmiştir. Frenet çatısı ve Bishop çatısına göre türev formülleri verilerek bu iki çatı arasındaki ilişkiler verilmiştir. Bir yüzeyin incelenmesi için gerekli olan birinci ve ikinci temel form ve yüzeyin eğrilikleri özet olarak verilmiştir. Ayrıca 3-boyutlu Minkowski uzayında temel kavramlar, eğriler ve yüzeylerin teorisi ile ilgili kavramlar özet olarak sunulmuştur.Üçüncü bölümde, 3-boyutlu Minkowski uzayında Bishop çatısına göre ötelemeyüzeylerinin birinci temel form, ikinci temel form, Gauss eğriliği ve ortalama eğrilikleri hesaplanmıştır. Bu hesaplamada spacelike ve timelike öteleme yüzeyleri ayrı ayrı ele alınarak farklı durumlarda incelenmiştir. Spacelike öteleme yüzeyleri için dört farklı durumda birinci, ikinci temel formlar, Gauss eğriliği ve ortalama eğrilikler hesaplanmıştır. Timelike öteleme yüzeyleri için ise yüzey üzerindeki eğrinin spacelike veya timelike olma durumu göz önüne alınarak karşılaşılan dokuz farklı durum için birinci, ikinci temel formlar, Gauss eğriliği ve ortalama eğrilikler hesaplanmıştır.

In this study, translation surfaces generated by spatial curves which are not planar are investigated according to Bishop frame in Minkowski 3-space. First fundamental forms, second fundamental forms, Gaussian curvatures and mean curvatures of the obtained surfaces are calculated.This thesis consists of three sections. In the first section, literature information of about studies on translation surfaces according to Frenet and Darboux frame in Euclidean spaces and Minkowski 3-space are stated. Moreover, some studies in Euclidean spaces are summarized on translation surfaces according to Bishop and Darboux frames which are alternatives to Frenet frame. In the second section, basic concepts on the theory of curves and surfaces in Euclidean 3-space are stated. Derivative formulas according to Frenet and Bishop frames and relations between these frames are given. First and second funfamental forms and surface curvatures are summarized which are necessary to investigate a surface. Furthermore, basic concepts of Minkowski 3-space and theory of curves and surfaces in this space are given by details.In the third section, first fundamental forms, second fundamental forms, Gaussian curvatures and mean curvatures of translation surfaces according to Bishop frame are calculated in Minkowski 3-space. During this calculation, spacelike and timelike translation surfaces are handled separately for different cases. For spacelike translation surfaces, first fundamental forms, second fundamental forms, Gaussian curvatures, and mean curvatures are calculated in four different cases. For timelike translation surfaces, first fundamental forms, second fundamental forms, Gaussian curvatures and mean curvatures are calculated in nine different cases with respect to the curve on the surface is spacelike or timelike.