Gecikmeli diferansiyel denklemlerin perturbasyon-iterasyon metodu ile analizi

Abstract

Bu tezde gecikmeli diferansiyel denklemler için yeni bir yöntem olan perturbasyon-iterasyon metodu ortaya konulmuştur. Yöntem, Taylor seri açılımındaki türevin mertebesi ve yaya açılımındaki düzeltme teriminin sayısına bağlı olarak iki tip algoritma ile sunulmuştur. Gecikmeli diferansiyel denklemlerin üç farklı sınıfı için ayrı ayrı algoritmalar elde edilmiştir. İlk olarak zaman gecikmeli diferansiyel denklemler için perturbasyon-iterasyon algoritmaları geliştirilmiştir. Bu denklem sınıfı için üç farklı sayısal örnek ele alınmıştır. Sonrasında pantograf tipi gecikmeli diferansiyel denklemler için perturbasyon-iterasyon algoritmaları geliştirilmiş, bu denklem sınıfı için ise altı farklı problem ele alınmıştır. Son olarak birçok mühendislik probleminin matematiksel modeli olarak ortaya çıkan geçmiş fonksiyonuna dayalı zaman gecikmeli diferansiyel denklemler için perturbasyon-iterasyon algoritması geliştirilmiş ve üç farklı sayısal örneğe uygulanmıştır. Tüm bu sayısal örneklerin perturbasyon-iterasyon çözümleri grafik ve tablolar ile sunulmuştur. Yöntem, varyasyonel iterasyon yöntemi, sıralama yöntemi ve homotopi perturbasyon yöntemi gibi bilinen birçok yöntem ile karşılaştırılmıştır. Ayrıca geliştirilen algoritma ile fiziksel sistemlerin matematiksel modeli olan gecikmeli Mathieu ve gecikmeli sönümlü Mathieu denklemleri çözülerek denklemlerdeki gecikme teriminin etkisi ortaya konmuştur. Frezeleme kesme işleminin matematiksel denklemine de uygulanan yöntem ile sistemin kararlı ve kararsız çözümleri elde edilmiştir.

In this thesis, perturbation-iteration method, which is a new method for delay differential equations, has been introduced. The method is presented with two types of algorithms depending on the order of the derivative in the Taylor series expansion and on the number of correction terms in the straightforward expansion. Perturbation-iteration algorithms are obtained separately for three different classes of delay differential equations. Firstly, perturbation-iteration algorithms are developed for time delayed differential equations. Three different numerical examples for this class of equations are discussed. Then, perturbation-iteration algorithms are developed for pantograph type delay differential equations and six different problems are considered for this class. Finally, perturbation-iteration algorithm is developed and applied to three different numerical examples for time delayed differential equations based on the history function which emerged as the mathematical model of many engineering problems. Perturbation-iteration solutions of all these numerical examples are presented with graphs and tables. The method is compared with many well-known methods such as variational iteration method, collocation method and homotopy perturbation method. In addition, the mathematical model of the physical systems of delayed Mathieu and delayed damped Mathieu equations are solved and the effect of the delay term in the equations is demonstrated. Stable and unstable solutions of the system are obtained by the method applied to the mathematical equation of the milling cutting process.