Kısmi türevli denklemler için optimal kontrol problemlerine bir bakış

Abstract

Matematiksel modelleme, simülasyon ve optimizasyon, mühendislik, tıp ve yaşam bilimlerinde gelecekteki gelişmeler için temel metodolojilerdir. 50 yıldan fazladır artan bilimsel ilgiden sonra, kısmi diferansiyel denklemlerle tanımlanan optimal kontrol problemleri bilime ve mühendisliğe sayısız yeni uygulamalar getirerek matematikte iyi kurulmuş bir disipline dönüşmüştür. Bu alanın büyümesiyle, tanımladığı sistemlerin karmaşıklığı da artmıştır. Optimal kontrollerin sayısal olarak gerçekleşmesi gittikçe daha zor hale gelmiş ve giderek daha sofistike matematiksel araçlar gerektirmiştir.Optimal kontrol teorisi, diferansiyel denklemlerle tanımlanan sistemler için maliyet fonksiyonlarını en aza indiren kontrol fonksiyonlarının bulunmasıyla ilgilidir. Bu çalışma, durum denkleminin hiperbolik, eliptik veya parabolik kısmi diferansiyel denklem olduğu optimal kontrol problemlerine odaklanmaktadır. Bu çalışmada optimal kontrol problemlerinin tarihsel gelişimi incelenerek, kısmi türevli diferansiyel denklemlerle yönetilen sistemlerden örnekler çözümleri ile birlikte sunuldu. Çözüm yöntemleri hakkında bilgiler de derlenerek yakınlarda yapılmış çalışmalar dahil edilerek mümkün olduğunca farklı uygulamalar bir araya getirildi.Anahtar Kelimeler : Optimal Kontrol, Kısmi Türevli Diferansiyel Denklemler, ontrol Fonksiyonu, Durum Fonksiyonu, Amaç Fonksiyonu.

Mathematical modelling, simulation, and optimisation are core methodologies for future developments in engineering, medicine, and life sciences. After over 50 years of increasing scientific interest, optimal control of partial differential equations has developed into a well-established discipline in mathematics with a great deal of applications to science and engineering. As the field has grown, so too has the complexity of the systems it describes; the numerical realization of optimal controls has become increasingly difficult, demanding ever more sophisticated mathematical tools.Optimal control theory is concerned with finding control functions that minimize cost functions for systems described by differential equations. This study focuses on optimal control problems where the state equation is an elliptic, hyperbolic or parabolic partial differential equation.In this study, the historical development of optimal control problems is examined and examples from systems governed by partial differential equations are presented together with solutions. Information about the solution methods was also compiled, incorporating recent work and incorporating as many different applications as possible.Keywords: Optimal Control, Partial Differential Equations, Control Function, State Function, Objective Function.