PSL(2, R) grubu ve ayrık alt grupları

Abstract

Bu çalışmada PSL(2, R) ve bu grubun ayrık alt gruplarının özellikleri ele alınmıştır. Bu grup ve hiperbolik geometri arasındaki ilişki üzerinde durulmuştur. PSL(2, R) grubunun ayrık alt grupları olan Fuchs grupları ve modüler grubun cebirsel yapıları ele alınmıştır.Çalışmanın ikinci bölümünde daha sonra ihtiyaç duyulacak bazı tanım ve teoremler verilmiştir.Dördüncü bölümde PSL(2, R) grubunun özellikleri ele alınmış ve bu grubun üst yarı düzlem üzerindeki hareketi incelenmiştir. Bu bölümde hiperbolik geometrinin üst yarı düzlem modeli oluşturulmuş ve PSL(2, R) deki dönüşümlerin hiperbolik uzaklığı ve hiperbolik alanı değişmez bıraktığı görülmüştür.Beşinci bölümde PSL(2, R) grubunun ayrık alt grupları olan Fuchs grupları incelenmiştir. Bu gruplar için temel bölge ve döşeme kavramları ele alınmıştır. Fuchs gruplarının bölüm uzayları oluşturulmuş ve bu bölüm uzayları ile kompakt Riemann yüzeyleri arasındaki ilişki incelenmiştir.Son bölümde modüler grup ele alınmıştır. Modüler grubun üreteçleri, temel bölgesi ve temsili verilmiştir.

In this work, the discussed the properties of the group PSL(2, R) and its discrete subgroups. We considered the relation between this group and hyperbolic geometry. Moreover, we studied algebraic structures of Fuchsian groups which are discrete subgroups of PSL(2, R) and modular group. In the second chapter, some definitions and theorems which will be used later in the work are given.In the fourth chapter, the properties of PSL(2, R) are considered and the action of this group on the upper half plane is studied. In this chapter the upper half plane model of the hyperbolic geometry is constructed. It is seen that the hyperbolic distance and the hyperbolic area are invariant under transformations of PSL(2, R) In the fifth chapter, Fuchsian groups, which are the discrete subgroups of PSL(2, R) are considered. The concept of fundamental regions and tessellations for these groups are given. The quotient spaces of these groups are constructed. The relations between quotient spaces of these groups and compact Riemann surfaces are studied.In the last chapter, the modular group is considered. The generators, fundamental region and representation of the modular group are given.