Fully computable convergence analysis of discontinous galerkin finite element approximation with an arbitrary number of levels of hanging nodes

Abstract

Bu tezde, uyarlanabilir süreksiz Galerkin sonlu elemanlar yönteminin, ikinci dereceden eliptik kısmi türevlenebilir denklemler için yakınsaklık analizi yapıldı. Tamamı hesaplanabilir yakınsaklık analizinde birinci dereceden simetrik interior penaltı süreksiz Galerkin yaklasımı kullanıldı ve norm olarak enerji normu seçildi. Kullanılann bu yontem eş olmayan ve üçgenlerden olusan ağ örgüsü üzerinde uygulandi. Uyarlanabilir bütün sonlu elemenlar yönteminde gerekli olan hata tahmincisi olarak şu ana kadar hiç bir çalışmada kullanılmamış olan bir tahminci seçildi. Bu tahminci diğerlerinin aksine bilinmeyen katsayılardan bağımsz oldugu için bir indikator değil gerçek bir tahminci olarak kullanlabilir. Bu tahminci, hata için alt ve üst sınırları sağlamaktadır. Sonuç olarak, kullanılan bu tahminci güvenilir ve etkili sayısal hata kontrolunu mümkun kılar. İkinci bir çalışma olarak, ters eşitsizliklerde kullanılan katsayıların gerçek değerleri hesaplandı. Bu değerler 1 boyutlu, 2 boyutlu ve 3 boyutlu uzaylar için üçgensel elemanlar kullanılarak bulundu. Sonlu elemanlar yönteminin artan matematiksel analizi, ağ örgüsüne bağlı terimlerin varlığını güdülemektedir. Fonksiyonel analizin bir kaç eşitsizliğide yaknsaklik hesaplarında sık sık kullanılmaktadır. Ters eşitsizlikler, sonlu elemanlar yönteminin analizinde en yaygın kullanılan eşitsizliklerdendir. Bu eşitsizlikler, hata analizi ve ağ örgüsüne bağımlı sonlu elemanlar yönteminin pratik dizaynı için bir araç olarak karakterize edilir. Bu tezde, bu eşitsizliklerin katsayılarının keskin bir tahmini verilmistir.

In this thesis, we analyze an adaptive discontinuous finite element method for symmetric nalysecond order linear elliptic operators. Moreover, we obtain a fully computable convergenceasis on the broken energy seminorm in first order symmetric interior penalty discontin- uous Galerkin finite element approximations of this problem. The method is formulated on nonconforming meshes made of triangular elements with first order polynomial in two di-mension. We use an estimator which is completely free of unknown constants and provide a guaranteed numerical bound on the broken energy norm of the error. This estimator is also shown to provide a lower bound for the broken energy seminorm of the error up to a constant and higher order data oscillation terms. Consequently, the estimator yields fully reliable, quantitative error control along with efficiency. As a second problem, explicit expression for constants of the inverse inequality are given in 1D, 2D and 3D. Increasing mathematical analysis of finite element methods is motivating the inclusion of mesh dependent terms in new classes of methods for a variety of applications. Several inequalities of functional analysis are often employed in convergence proofs. Inverse estimates have been used extensively in the analysis of finite element methods. It is char- acterized as tools for the error analysis and practical design of finite element methods with terms that depend on the mesh parameter. Sharp estimates of the constants of this inequality is provided in this thesis.