Algebraic geometric methods in studying splines

Abstract

Bu tezde odaklanacağımız temel nesneler parçalı tanımlı polinom fonksiyonlardır. $/Delta$, $/RR^n$'de çok yüzlü bir bölge belirtmek üzere,$/Delta$ üzerindeki düzgünlük derecesi $r$ olanparçalı tanımlı polinom fonksiyonlar $C^r(/Delta)$ ile gösterilir. $C^r_k(/Delta)$, $C^r(/Delta)$'nın derecesi en fazla$k$ olan polinomları içeren bir alt kümesidir ve bir vektör uzayı oluşturur ve bu vektör uzayının boyutunun hesaplanması, birçokuygulaması olan önemli bir problemdir. Bu tezde, öncelikle parçalı tanımlı polinom fonksiyonları hakkındaki çalışmaları özetleyip,hem polihedral, hem de simpleksler kompleksleri üzerindeki parçalı tanımlı polinom fonksiyonların boyut hesaplamasında kullanılan farklı cebirselgeometrik yöntemleri tanımlıyoruz.Daha sonra, Mcdonald ve Schenck'in /cite{McdSch}, bir polihedral kompleks $/Delta$üzerinde tanımlı düzlemsel parçalı polinom fonksiyonlarının oluşturduğuvektör uzayının boyutuna ilişkin önemli sonucunu genelleştiriyoruz. Ayrıca, /cite{GeraSch} makalesindeki metodu kullanarak,üç boyuttaki bir simpleksler kompleksi üzerindeki parçalı polinom fonksiyonlarının boyutlarına ilişkin genelleştirmeler yapıyoruz.Bu genelleştirmeler,hiç iç noktası olmayan simpleksler komplekslerini ve bir iç noktası olan sekizyüzlüleri kapsıyor.Sekizyüzlüler durumunda, üzerinde tanımlı spline uzaylarınınboyutlarını inceleyip onların lineer bağımsız iç düzlemlerininsayısına bakarak boyutları konusunda bazı genelleştirmeler yapıyoruz.Anahtar Kelimeler: Spline, Polihedral kompleks, Boyut formülü, Hilbert polinomu,Modül homolojileri

In this thesis, our main objects of interest are piecewise polynomial functions (splines).For a polyhedral complex $/Delta$ in $/mathbb{/R}^n$, $C^{r}(/Delta)$ denotes the set of piecewise polynomial functions defined on $/Delta$.Determining the dimension of the space of splines with polynomials having degree at most $k$, denoted by $C^r_k(/Delta)$, is an important problem, which has many applications.In this thesis,we first give an exposition on splines and introduce different algebraic geometric methods used to compute the dimension of splines both on polyhedral and simplicial complexes.Then we generalize the important result of Mcdonald and Schenck /cite{McdSch} on planar splines on a polyhedral complex.Also, by using the method in /cite{GeraSch}, we make generalizations on the dimension of the spaces of splines on simplicial complexes in dimension three. This generalizaton includes simplicial complexes having no interior points, and octahedrons with one interior point. In the latter case, we make some generalizations by consideringthe number of linearly independent interior planes.Keywords: Spline, Polyhedral complex, Dimension formula, Hilbert polynomial, Homology modules