Numerical methods for multiphysics flow problems

Abstract

Bu tezde, sayısal yöntemler kullanılarak çoklu fizik problemlerinin yaklaşık çözümleri için etkili ve gerçekçi sayısal algoritmalar araştırılır. Birden çok fiziksel süreçin karşılıklı etkileşiminin sistem üzerindeki karmaşık etkisi nedeniyle, bu problemlerin sayısal çözümlerinin elde edilmesinde iki temel zorluk ortaya çıkar: problemi daha küçük alt parçalara indirgeyen, kararlı ve hassas algoritmalara ve tüm fiziksel ölçeklerin çözülmesi için çok geniş bilgisayar hafizasına olan gereksinim. Bu iki zorluk sıklıkla ayrı problemler olarak ifade edilmesine karşın, uygulamada birbirleriyle yakından ilgilidir. Bu tezin amacı iki çeşit çoklu fizik problemi; sıcaklığı sabit olmayan, sıkıştırılamaz akışkan akışı ve manyetohidrodinamik akışları için yeni algoritmalar geliştirmek ve analiz yoluyla onların daha iyi anlaşılmasına katkı sağlamaktır.Bu tezin birinci unsuru çoklu fizik denklemlerini daha küçük, daha kolay çözülebilen alt problemlere ayrıştıran nümerik algoritmaları geliştirmektir. Ancak, problemlerin bileşenlerine ayrıştırılmasının doğruluğu azalttığı ve sayısal karasızlıklara yol açtığı iyi bilinmektedir. Burada önerilen ve çalışılan ayrıştırmalı algoritmaların kararlı ve hassas oldukları titiz bir şekilde ispatlanacaktır. Sayısal testler algoritmaların kararlılığını ve hassaslığını doğrulamak için kullanılır.Bu tezin ikinci unsuru çözülmesi gerekli olan en küçük ölçeğin boyutunu azaltarak bu problemlerin hesaplama maliyetini indirgemek için Varyasyonel Çoklu Ölçek (VMS) metotunu kullanan sayısal algoritmaları oluşturmaktır. Aynı zamanda, algoritmalar VMS modelleme/kararlılık denklemlerini çoklu fizik sisteminden ayrıştıracak ve çoklu fizik sistemini bileşenlerine ayrıştıracaktır. Bu tez, bu şekilde etkili algoritmalar önerir ve kararlılık parametrelerinin seçimine rehberlik etmesinin yanı sıra algoritmaların kararlı ve hassas olduğunu titiz bir şekilde ispatlar. Sayısal testler teorik sonuçları doğrular ve algoritmanın kaba ayrıştırma üzerinde, yani orjinal (kararsız) fizik sisteminin çözülebilmesi için gerekli olan hesaplama maliyetinden önemli ölçüde daha az hesaplama maliyeti ile doğru sonuçlar verdiğini ortaya çıkarır.Son olarak, bu tez, çoklu fizik problemlerini ayrıştıran algoritmalar için uzun zamanlı kararlılık kavramını göz önüne alır. Kararlı sayısal metotların yalnızca sonlu zaman aralıkları üzerinde kararlı olması ve gerçek çözümün büyümediğinde bile doğrusal hatta üstel olarak fiziksel olmayan bir şekilde zamanla artan sayısal çözümler üretmesi oldukça yaygındır. Dolayısıyla, kararlılık ve hassaslığın sayısal simulasyonda mümkün olduğunca uzun korunacak şekilde tüm zamanlarda kararlı olan algoritmaların kullanılması arzu edilir. Bu tez genel, sıkıştırılamaz Navier-Stokes denklemleri ve çoklu fizik problemleri için doğrusal, ikinci mertebe özellikli metotların koşulsuz kararlılık sonuçlarını ispatlar.

In this dissertation, efficient and reliable numerical algorithms for approximating solutions of multiphysics flow problems are investigated by using numerical methods. The interaction of multiple physical processes makes the systems complex, and two fundamental difficulties arise when attempting to obtain numerical solutions of these problems: the need for algorithms that reduce the problems into smaller pieces in a stable and accurate way and for large (sometimes intractable) amount of computational resources to resolve all the physical scales. Although these two difficulties are often stated as separate issues, in practice they are quite related. The objective of this thesis is to advance state of the art in algorithms, and their better understanding through analysis, for two types of multiphysics problems: incompressible non-isothermal fluid flow, and magnetohydrodynamic flow.The first component of this thesis is to develop numerical algorithms that decouple the multiphysics systems of equations into smaller, easier to solve sub-problems. However, splitting up problems into components is well known to (sometimes dramatically) reduce accuracy and cause numerical instabilities. It will be rigorously proven that the decoupling algorithms proposed and studied herein are stable and accurate. Numerical tests are used to verify the stability and accuracy.The second component of the thesis is to construct the numerical scheme that use the Variational Multiscale (VMS) method to reduce the computational cost of these problems, by reducing the size of the smallest scale needing to be resolved. At the same time, the algorithm will decouple the VMS modeling/stabilization equations from the multiphysics system, and decouple the multiphysics system into its components. This thesis proposes such an efficient algorithm and rigorously proves it is stable and accurate, as well as giving guidance into picking the stabilization parameters. Numerical experiments verify the theoretical results, and reveal that the algorithm gives accurate solutions on coarse discretizations, i.e. with significantly less computational cost than the requirement to be resolved of the original (unstabilized) physical systems.Lastly, this thesis considers the notion of long-time stability for decoupling algorithms for multiphysics problems. It is quite common for stable numerical methods to be stable only over finite time intervals, and to produce numerical solutions that non-physically grow linearly or even exponentially with time, even when the true solution does not grow. Hence, it is desirable to use algorithms that are stable at all times, so that stability and accuracy can be preserved as long as possible in a numerical simulation. This thesis proves unconditional long time stability results for a particular class of linearized, second order methods for multiphysics problems and also for the usual incompressible Navier-Stokes equations.