Balans sayıları ve pell denklemleri

Abstract

Bu tez temel olarak dört ana bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümdesayılar teorisindeki temel tanım ve teoremler verildi. Ayrıca indirgeme bağıntısı,Fibonacci ve Lucas sayı dizileri ve bunlara ilişkin indirgeme bağıntıları, BinetFormülleri ile üreteç fonksiyonları oluşturuldu.İkinci bölümde x^2-dy^2 =1 ve x^2-dy^2 = N tipindeki Pell denklemleritanımlanarak çözümlerinin varlığı üzerinde duruldu. Bu bölümde ayrıca süreklikesir kavramı tanımlanarak kök d nin sürekli kesir açılımı yardımıyla x^2-dy^2 =1ve x^2-dy^2 = N tipindeki Pell denklemlerinin temel ve genel çözümlerineulaşıldı.Üçüncü bölümde Balans ve Kobalans sayıları tanımlanarak Balans veKobalans sayıları için kriterler ortaya kondu. Balans ve Kobalans sayılarınınindirgeme bağıntıları, Binet Formülleri ve de üreteç fonksiyonları verildi. Bubölümde ayrıca Lucas-Balans , Lucas-Kobalans sayıları tanımlanarak indirgemebağıntıları ile Binet Formülleri verildi.Dördüncü bölümde Gaplı Balans sayı ve k-Gaplı Balans sayı tanımlarıyapılarak 2-gaplı, 3-gaplı, 4-gaplı, 5-gaplı Balans sayıları için Binet Formüllerinex^2-2y^2 =7 , x^2-8y^2 =17 , x^2-2y^2 =31 , x^2-8y^2 =49 genel Pelldenklemlerinin genel çözümleri ile bağlantı kurularak ulaşıldı. Ayrıca,k =2,3,4,5 için k-gaplı Balans sayıları ile Lucas Balans ve Lucas Kobalanssayıları arasındaki bağıntılara ulaşıldı

This thesis is mainly composed of four main sections. In the first section,basic definitions and theorem in number theory are given moreover, recurrencerelations, Fibonacci and Lucas numbers sequence and related recurrence relations,besides Binet and Generating functions are formed.In the second part of the study, x^2-dy^2 =1 and x^2-dy^2 = N type Pellequations are identified and thus the presence of solutions are dwelled on.Besides, in this sections, by identifying the consept of continued fraction with thehelp of square root of d's continued fractions expansion, fundemantel and general solutionsof x^2-dy^2 =1 and x^2-dy^2 = N type Pell equation are obtained.In the third section of the study , Balancing and Cobalancing numbers aredefined to intoduce a criteria. In addition, recurrence relations of Balancing andCobalancing numbers, Binet formulas and generating functions are given. Herealso Lucas-Balancing, , Lucas-Cobalancing are defined and Binet formulas withreccurance relations are given.In forth and last section, by defining Gap Balancing numbers and k-GapBalancing numbers for k =2,3,4,5 , the Binet formulas x^2-2y^2 =7 ,x^2-8y^2 =17 , x^2-2y^2 =31 , x^2-8y^2 =49 are obtained by correlating withgeneral solutions of general Pell equations. Moreover, for k =2,3,4,5 , therelations between k - Gap Balancing numbers and Lucas-Balancing , Lucas-Cobalancing numbers are archieved.