Meromorf fonksiyonlarda hadamard çarpımı

Abstract

ÖZET S sınıfı D = {z : z< 1} de yalınkat olan f(0) = f (0)-l=0 2 koşullarıyla normalize edilmiş f(z) =* z-f a_ z +... fonksiyonlarının sınıfıdır. C, S* ve K, S nin sırasıyla konveks, yıldızıl ve konvekse yakın olan alt sınıflarıdır. 00 00 Birim dairede analitik olan f(z) = E az ve g(z) = E b z n=0 n=0 fonksiyonlarının Hadamard çarpımı 00 H(z) - f(z') * g(z) = E a b zn n n n n=0 şeklinde tanımlanmıştır. Polya ve Schsenberg (1958) konveks iki fonksiyonun Hadamard çarpımının da konveks olabileceğini tahmin ettiler. 1973 te bu tahmin Ruschweyh ve Sheil- Small tarafından ispat edildi. Konveks fonksiyonlarla konvekse yakın fonksiyonların çarpımlarının konvekse yakın ve yıldızıl fonksiyonlarla çarpımlarının da yine yıldızıl olduğu sonuçları elde edildi. 0 < zj < 1 de yalınkat olan g(z) = z + b + b..z + b`z +... meromorf fonksiyonlarının sınıfı E olsun. E* ve MC, Enin sırasıyla yıldızıl ve konveks olan alt sınıflarıdır. T ise konvekse yakın 00 g(z)=z +Ebz fonksiyonlarının sınıf ıdıı 1 n üyeleri vardır. O < z< 1 de yalınkat olan 00 g(z)=z +Ebz fonksiyonlarının sınıfıdır ve yalınkat olmayan 1 n T. C. Yükseköğretim Kurula Dokümantasyon Merkeze- 7 00 oo f ( z ) = - + E a z ve g(z)=- -fEbz Z 1 n z 1 n meromorf fonksiyonların Hadamard çarpımı oo F(z) = - + E a b z11 z n n şeklindedir. Analitik fonksiyonların Hadamard çarpımı ile ilgili yukarıda sözü edilen problemler meromorf fonksiyon sınıfları için de incelen- 00 mistir. Robertson (1962 )F(z)= - -f E a b z nin O < I zl < 1 de yaldızıl 1 n n ' ' kat konvekse yakın, zj = 1 üzerinde sürekli ve yıldızıl olduğunu gös terdi. 00 oo uf /.t- n / / ` k -f- 1 n f(z) = z + E anz ve g^z) - E ^^ z n=2 n=l olmak üzere k+l! k-1 Hk(z) * (f * gk)(z) =- j~ S K f(C) dÇ 3k' z o Hadamard çarpımının özel bir halidir. Bu özel hali önce Libera (1965) incelemiştir. Libera f(z)eS* (veya C veya K) ise 2 Z H (z) = - f f(ç)dÇ eS* (veya C veya K) olduğunu gösterdi. JL z o Bernard! (1969) k pozitif bir sayı olmak üzere f(z) yıldızıl, konveks ya da konvekse yakın ise H,(z) nin de sırasıyla yıldızıl, konveks K ve konvekse yakın olduğunu ispat etti. Yine Bernardi (1969) yıldızıl z __2 fonksiyonlar için p pozitif bir sayı olmak üzere F (z) = / Ç f(Ç)dÇ o p-valent fonksiyonlarının D (r <_ 1) diskini p. mertebeden konveks olan bir bölgeye resmettiğini gösterdi.- 3 Tersine H, (z) nin yıldızıl, konveks ve konvekse yakın olması halinde f(z) nin de z< r(k) için H,(z) ile aynı sınıfa dahil olduğu gösterilmiştir. Meromorf fonksiyonlar için aynı özel problem Bajpal ve Goel- Sahi tarafından incelenmiştir. Biz bu çalışmada yukarıda anlatılan Hadamard çarpımı ve özel hallerini meromorf fonksiyon sınıfları için inceleyeceğiz. BÖLÜM-1: Analitik fonksiyon sınıfları hakkında temel bilgiler verilmiştir. Yalınkat fonksiyonların tanımı ve özellikleri, subordinasyon prensibi genel olarak açıklanmış, pozitif reel kısma haiz fonksiyonların sınıfı, yıldızıl, konveks ve konvekse yakın fonksiyon sınıfları bilinen bazı özellikleriyle tanıtılmıştır. BÖLÜM-2: Yalınkat, yıldızıl, konveks ve konvekse yakın meromorf fonksiyon sınıfları kısaca tanıtılarak, genel bilgiler verilmiştir. BÖLÜM-3: Analitik fonksiyon sınıflarında Hadamard çarpımı ve genel özellikleri açıklanmıştır. Daha sonra meromorf fonksiyon sınıflarının Hadamard çarpımı hakkında Robertson' m çalışması incelenmiş tir. Robertson f(z) ve g(z) meromorf fonksiyonlarının yalınkat olması oo halinde F(z) = - + E a b z11 çarpımında 0<z<l de yalınkat, konvek se yakın ve yıldızıl olduğunu z= 1 de sürekli olduğunu ispatladı. a > 0 için F (z) = - -f E naa b z, İzi < 1, analitik fonksiyon- = az1nn1' nunu tanımlayarak a > 0 iken yalınkat olan her f(z) ve g(z) meromorf fonksiyonları için daima yalınkat olup olamayacağı sorusunu ortaya attı.F (z) nin O < z[ < 1 de daima yalınkat olmadığını özel bir örnekle gösterdi. Robertson' m çalışmasının bazı sonuçları verilmiştir : SONUÇ-1: f(z) 0 < z< 1 de yalınkat ve g(z) 0 < z< 1 de konveks ise F(z) 0 < z< 1 de konvekstir. SONUÇ-2: F, (z) = - + E a,b, zk kısmi toplamı 0 < z< 1 de K Z.. K k yalınkat ve yıldızıldır. Libera 1965 de f ve g 0 < z< 1 de E ka. 2 < 1-a» E kb 2 _< 1-3 0 < a, 3 < 1 k=l K k=l k koşullarını gerçeklediğinde F(z) nin yıldızıl olduğunu gösterdi ve aşağıdaki sonucu verdi: SONUÇ: feE*. g£E* ise FeE* dır, y = min{a,3). Bundan sonra ot p y Hadamard çarpımının özel bir hali incelenmiştir. Bajpal feE*(veya MC) -2 Z ise F(z) = z / tf(t)dt eE* (veya MC) olduğunu ispatladı. Goel ve Sahi (1981) analitik fonksiyon sınıfları için elde edilenlere paralel olarak Bajpai' nin verdiği sonuçları genelleştirmişlerdir. f(z) = z + a + az +... eE* (veya MC) ise 1 F(z) = c / u° f(uz)du,(0 < u < l),c > 0 fonksiyonunun da E* (veya MC) ye ait olduğu ispatlanmıştır. Ve bunların sonuçları olarak da f(z)eE ve 1 koşulunu gerçekliyorsa F(z) = c / u f(uz)du fonksiyonunun da- 5 - O < J z< 1 de F(z) 4 O iken £* (veya MC) ye ait olduğu gösterilmiş tir. Ayrıca f(z), g(z) ye göre konvekse yakın ise 1 1 F(z) = c / uG f(uz)du, G(z) = c / uc g(uz)du 0 < u < 1 o o c > 0 olmak üzere 0<z< 1 de G(z) ^ 0 için F(z) nin G(z) ye göre konvekse yakın olduğu ispatlanmıştır. Daha sonra ters problemlerle ilgili sonuçlar incelenmiştir: F(z) = z_1 + b -f bnz +... eZ* (veya MC) ve ol f(z) =1 [(c + i)f(z) + zF'(z)], c > 0 ise 0 < z< / - - - için f(z) e£* (veya MC) olduğu ispat edil- C T* Z mistir ve bu sonucu gerçekleyen bir fonksiyon verilmiştir. Son olarak F(z),G(z) ye göre konvekse yakın ve c > o iken, f(z) = - [(c + l)F(z) + zF'(z)], g(z) = - [(c + l)G(z) + zG'U)] ise 2 0 < z<r-için f(z) nın g(z) ye göre konvekse yakın olduğu ispatlanmıştır.