Ortaokul matematik öğretmen adaylarının alan ve pedagojik alan bilgileri çerçevesinde kesirlerle çarpma ve bölme işlemlerinin öğretimine ilişkin kullandıkları modeller

Abstract

Bu çalışmada, ortaokul matematik öğretmeni adaylarının kesirlerde model kullanımına yönelik bilgileri alan bilgisi (AB) ve pedagojik alan bilgisi (PAB) bağlamında incelenmektedir. Çalışmanın amacı ortaokul matematik öğretmeni adaylarının kesirlerde model kullanımına yönelik AB'lerini incelemek, kesirlerle çarpma ve bölme işlemlerinde model kullanımına yönelik PAB'larını incelemek ve öğretmen adaylarının kesirlerle çarpma ve bölme işlemlerinde model kullanımına yönelik AB'lerini öğretimlerine nasıl yansıttıklarını incelemektir. Çalışma grubu 2015-2016 öğretim yılında Türkiye'de bir devlet üniversitesinin Matematik Eğitimi Anabilim dalında okuyan ve Özel Öğretim Yöntemleri I ve II derslerini almış dört son sınıf öğretmen adayından oluşmaktadır. Araştırmada durum çalışması deseni kullanılmıştır. Öğretmen adaylarının kesirlerde model kullanımına yönelik AB'lerini ortaya çıkarmak amacı ile yarı-yapılandırılmış görüşmeler gerçekleştirilmiştir. Görüşmeler veri kaybını engellemek için video kamera ile kayıt altına alınmıştır. Verilerin analizinde içerik analizi kullanılmıştır. Öğretmen adaylarının kesirlerde model kullanımına yönelik AB'leri `verilen kesirleri model ile göstermelerine yönelik AB'leri`, `kesirlerin denkliğini model ile göstermelerine yönelik AB'leri`, `kesirlerle çarpma işleminde model kullanımına yönelik AB'leri`, `kesirlerle bölme işleminde model kullanımına yönelik AB'leri` bağlamında alan modeli, küme modeli ve uzunluk modeli için ayrı ayrı incelenmiştir. Öğretmen adaylarının kesirlerle çarpma ve bölme işlemlerinde model kullanımına yönelik PAB'larını ortaya çıkarmak için öğretmen adaylarından `6.1.4.4. İki kesrin çarpma işlemini yapar ve anlamlandırır`, `6.1.4.7. İki kesrin bölme işlemini yapar ve anlamlandırır` kazanımlarına yönelik ders planları hazırlamaları istenmiş ve dersleri gözlemlenmiştir. Veri toplama aracı olarak ders planları ve ders gözlemlerinin kullanılmasının yanı sıra, iki öğretmen adayının hazırlamış olduğu ders notları ve bir öğretmen adayının öğrencilere vermiş olduğu çalışma kağıtları da öğretmen adaylarının PAB'ının incelenmesinde ele alınmıştır. Öğretmenlerin PAB'larını incelemek için Kovarik'in (2008) PAB çerçevesindeki `öğrenci bilgisi` ve `matematiksel temsiller bilgisi` bileşenleri kullanılmıştır. Öğretmen adaylarının PAB'larını ortaya çıkarmak için elde edilen veriler öğrenci bilgisi ve matematiksel temsiller bilgisi bileşenleri için ayrı ayrı analiz edilmiştir. Öğretmen adaylarının kesirlerle çarpma ve bölme işlemlerinde model kullanımına yönelik AB'lerini öğretimlerine nasıl yansıttıklarını ortaya çıkarmak için AB görüşme formu ve staj okullarında gerçekleştirilen ders gözlemleri birlikte kullanılmıştır. Her bir öğretmen adayının AB'sini öğretimine nasıl yansıttığı ayrı ayrı incelenmiştir. Çalışmanın sonucunda öğretmen adaylarının kesirlerin ve kesirlerle çarpma ve bölme işlemlerinin temsilinde öncelikle alan modeli kullanma eğiliminde oldukları görülmüştür. Öğretmen adayları alan bilgisi görüşme formunda verilen işlemleri temsil etmede en az uzunluk modelini tercih etmiştir. Öğretmen adaylarından birinin küme modelindeki eş gruplara ayırma fikrine sahip olmadığı görülmüştür. Fakat bu öğretmen adayı ders notunda küme modeli ile temsilde nesneleri payda kadar eş gruba ayırma fikrine sahip olduğunu göstermiştir. Öğretmen adayları derse ön bilgi hatırlatması ile başlamış ve çoğunlukla gerekli hatırlatmaları yapmışlardır. Tüm öğretmen adayları derslerinde çok sayıda soru kullanmışlar, fakat bu sorular öğrencileri yeterince düşünmeye teşvik etmek ve onların fikirlerini ortaya çıkarmak için yeterli olmamıştır. Hiçbir öğretmen adayı dersinde öğrencileri farklı temsiller oluşturmaları konusunda teşvik etmemiş ve sınıfta farklı temsiller oluşturan öğrenciler var ise onları ortaya çıkaramamıştır. Aynı zamanda öğretmen adayları öğrencileri sadece gözlemleri ve onlara sordukları sorular karşısında elde ettikleri öğrenci cevapları ile değerlendirebilmiştir. Sadece bir öğretmen adayı ders esnasında öğrencilere vermiş olduğu çalışma kağıtlarını ders sonrası inceleyerek öğrencilerin anlamalarını değerlendirebilmiştir. Doğal sayı ile kesrin çarpımında sadece iki öğretmen adayı alan modelinin yanı sıra küme modeli kullanmıştır. Bir öğretmen adayı ise iki kesrin çarpımında uzunluk modeli kullanmıştır. Bu öğretmen adayı hazırlamış olduğu notlarda iki kesrin çarpımında küme modeli ile temsile yer vermesine rağmen öğretiminde küme modelini hiç kullanmamıştır. Bir diğer öğretmen adayı da iki kesrin çarpımını ders notlarında uzunluk modeli ile de temsil ederken öğretimde sadece alan modeli kullanımına yer vermiştir. Kesirlerle bölme işleminde öğretmen adayları tarafından sadece alan modeli kullanılmıştır. Öğretmen adaylarının alan bilgisi görüşme formundan elde edilen verileri ve gözlem verileri karşılaştırıldığı zaman kesirlerle çarpma ve bölme işlemlerinde model kullanımına yönelik AB'lerinin sınıf içi öğretimlerinde etkili olduğu sonucuna ulaşılmıştır.Anahtar kelimeler: alan bilgisi, pedagojik alan bilgisi, kesirlerde model kullanımı, öğretmen adayları, kesirlerle çarpma ve bölme işlemleri

In this study, preservice middle school mathematics teachers' knowledge for the use of models in fractions is examined in the context of content knowledge (CK) and pedagogical content knowledge (PCK). The purpose of the study is to examine the CK of preservice middle school mathematics teachers' for the use of models in fractions, the PCK of preservice teachers' for the use of models in multiplication and division of fractions and how they reflect the CK for the use of models in multiplication and division of fractions on their teaching. The participants of the study are four preservice teachers who are in their senior year in the mathematics education program at a state university in Turkey during the academic year of 2015-2016 and completed the Special Teaching Methods I and II courses. In the study, case study design was used. Semi-structured interviews were conducted with the aim of revealing the CK of the preservice teachers' for the use of models in fractions. Interviews were recorded with a video camera to prevent data loss. To analyze the data, content analysis technique was used. The CK of the preservice teachers' for the use of models in fractions were analyzed seperately in the context of `CK for demonsrate given fractions with a model` `CK for demonstrate the equivalence of fractions with a model`, `CK for the use of models in multiplication of fractions` and `CK for the use of models in division of fractions` for area model, set model and length model. In order to reveal the PCK for the use of models in multiplication and division of fractions, preservice teachers were asked to prepare lesson plans for the following learning outcomes `students multiply two fractions and make sense of the multiplication of two fractions` and `students devide two fractions and make sense of the division of two fractions` and their teaching in classroom was observed. In addition to the use of lesson plans and classroom observations as data collection tools, lecture notes that were prepared by two preservice teachers and worksheets that were given to the students by a preservice teacher were also analyzed to examine the PCK of preservice teachers'. The PCK components, `student knowledge` and `mathematical representation knowledge`, in Kovarik's framework were used to examine the preservice teachers' PCK. The data collected to reveal the PCK were analyzed seperately for the `student knowledge` and `mathematical representations knowledge` components. To examine how the preservice teachers' reflect their CK for the use of models in multiplication and division of fractions on their teaching, both the interviews and classroom observations in teaching practice schools were used. How each preservice teacher reflects the CK on their teaching was examined seperately. The findings of the study showed that the preservice teachers' tended to use area model initially for the representations of fractions and multiplication and division of fractions. The length model was the least preferred way of representating operations with fractions during the interviews. It was found that one of the preservice teachers did not have the idea of separation into equivalent groups in the set model. However, this preservice teacher's lecture notes showed that he had the idea of separation into equivalent groups as denominator in the representation with the set model. All preservice teachers began their teaching by eliciting students' prior knowledge and usually called students' attention to the necessary concepts and ideas. They allposed a lot of questions during their teaching, but these questions were not adequate to encourage students to think and to bring out their ideas. None of the preservice teachers encouraged students to make different representations, and if there were students who created different representations during the class, they could not detect them. Moreover, preservice teachers tended to assess their students' understanding only through observations and student responses they had received in response to questions they asked during the class. Only one preservice teacher was able to assess students' understandings after the class by examining the student responses on the worksheet given during the class. When multiplying a fraction by a natural number, only two preservice teachers used the set model as well as the area model. Also only one preservice teacher used the length model in the multiplication of two fractions. Although this preservice teacher included representation of the multiplication of two fractions using the set model in his lecture notes, he never used it during his teaching. While another preservice teacher also represented the multiplication of two fractions with the length model in his lecture notes, he used only the area model during his teaching. Solely the area model was used by the preservice teachers in division of fractions. When the preservice teachers' CK and the observations of their teaching were compared, it was suggested that the CK for the use of models in fractions was effective in classroom teaching. Keywords: content knowledge, pedagogical content knowledge, the use of models in fractions, preservice teachers, multiplication and division of fractions