Yalınkat fonksiyonlarının ekstremal özellikleri

Abstract

ÖZET YALINKAT FONKSİYONLARIN EKSTREMAL ÖZELLİKLERİ Birim daire C7 ={z : z < 1} da analitik fonksiyonların kümesi H(U) olsun. f(z) = z+ E anzn açılımına sahip yalınkat /e H(U) fonksiyonlarının sınıfı 5 ile «=2 gösterilir. Genel halde, farklı iki noktayı sabit bırakan analitik ve yalınkat fonksiyonların sınıfı M sınıfı, Montel tarafından tanıtıldı. Montel, S sınıfındaki normalizasyonlar yerine aşağıdaki normalizasyonları önermiştir: (I) /(0) = 0 ve /(p)(0) = l;/7sabit,p>l 0I)/(0) = 0 ve /(z0) = l;z0eU,z0 sabit (m) /(O) = 0 ve f(z0 ) = z0 ; z0 e U, z0 sabit Bölüm I de Montel tarafından tanıtılan normalizasyon koşullan verilmiş ve bu koşullan gerçekleyen bazı özel alt sınıfların Koebe bölgeleri hakkında bilgi verilmiştir. Bölüm II de; genel bilgiler başlığı altında yalınkat fonksiyonlann tanım ve özellikleri ile S sınıfının özellikleri kısaca anlatılmıştır. Teorik yaklaşımlar başlığı altında S sınıfını koruyan bazı elemanter varyasyon metodlan tanıtılmış ve trajektorilerin ekstremal problemlere uygulaması bir teorem ile örneklenmiştir. Kaynak bilgilerin irdelenmesi başlığı altında, M{a), M(M), ve bazı özel sınıflar için elde edilen sonuçlar özetlenmiştir: iki noktayı sabit bırakan sınırlı ve yalınkat fonksiyonlann sınıfı için Koebe bölgesi Reade ve Zlotkiewicz [6] tarafından gösterilmiştir. Fait ve Zlotkiewicz [7] IIItarafından Montel normalizasyonlu, a mertebeden yıldızıl fonksiyonların sınıfı tanıtılmış ve Ma (a) ile 5* sınıflan arasındaki ilişki verilmiştir. Buna ek olarak, bazı özel alt sınıfların ekstremum noktalan ve konveks zarfı inşa edilmiştir. Libera ve Zlotkiewicz [11-12] tarafından Montel normalizasyonunu sağlayan sınırlı, yalınkat fonksiyonlann sımfı M{a;B) ile S ve M(a) sınıflan arasındaki ilişki verilmiş ve M(a;B) nin bir alt sınıfında varyasyon metodu uygulanmış ve bunun bir uygulaması olarak Ay katsayısının değerler bölgesi için bir teorem verilmiştir. Ayrıca, A2 katsayısı için bir tahmin verilmiştir. Vasiliev [14], M(a;B) sınıfına ait fonksiyonlar için ze (-1,1) olmak üzere j^(z)için kesin sınırlar vermiş ve Koebe bölgesini eliptik integraller yardımıyla tanımlamıştır. Sladkowska [15], ögC -{0}olmak üzere feHv(U), f(z)±0 ve /(O) = b normalizasyonlan ile tanımlanan Sob sınıfı için elemanter varyasyon metodlan ve bazı özel varyasyon yöntemleri ile ekstremal fonksyonlann özelliklerini incelemiş, ekstremal fonksiyonu ve So& sınıfı için distorsiyon teoremleri vermiştir. Yine Sladkowska [16], 0 <&< 1 olmak üzere f&Hu(U), f(U)cU,j{0) = b ve lm/(n)(0) = 0, n = 0, 1,... normalizasyonlan B0S (b) sınıfını tanıtmış ve bu sınıfta elemanter varyasyon metodlan ve bazı özel varyasyon yöntemleri ile ekstremal fonksyonlann özelliklerini incelemiştir. B^ib) sınıfına ait fonksiyonlann Taylor serisi açılımındaki birinci ve ikinci katsayılan için tahminde bulunmuştur. Avcı ve Zlotkiewicz [17] tarafından üç noktayı sabit bırakan fonksiyonlann sınıfı 7(a) tanıtılmış ve 7(a) nın bir alt sınıfında katsayı tahminleri ile sınıfın Koebe bölgesi verilmiştir. Yine Avcı ve Zlotkiewicz [17] tarafından, T(a) sınıfına ait fonksiyonların ilk katsayıları için eşitsizlik verilmiş ve bu eşitsizliklerin mümkün olan en iyi sonuç olduğu gösterilmiştir. Tez çalışmalarının yer aldığı Bölüm IH de, M(a,b) sınıfı tanıtılmış ve bu sınıf ile iyi bilinen S ve M(a) sınıflan arasındaki ilişki verilmiştir. Bu ilişkiler yardımıyla, IVS sınıfındaki katsayı ve distorsiyon teoremleri kullanılarak M{a,b) sınıfına ait fonksiyonların birinci katsayıları için bir tahmin verilmiştir. Ayrıca, F e M.(a,b) olmak üzere, F/a) için eşitsizlik verilmiştir. Elemanter varyasyonlardan, alınmayan değer dönüşümü yardımıyla M{d) sınıfının uç ve destek noktalan incelenmiştir. Haziran, 2004 Faruk UÇAR

ABSTRACT EXTREMAL PROPERTIES OF UNIVALENT FUNCTIONS The well-known class S consists of functions/, jiz) = z + <hz2 +... that are univalent and analytic in the unit disc U ={z : z < 1} is extensively examined by many authors. Montel 1933 suggested that the normalization /(0) = 0, /'(0) = 1 be replaced by (I)/(0) = 0 and / (p) (0) = l,p fixed, p>l or by (II) /(0) = 0 And /(z0) = l for fixed z0e U but he didn't develop this idea. An alternative to (E) is (IE) /(0) = 0 and f(z0) = z0 for fixed z0e U. Let M{a) denote the set of all functions that are univalent in U and satisfy the condition (HI). This class of functions is also examined. Let M{a,b) denote the set of all functions that are univalent in U and satisfy the conditions /(0) = b and f(a) = a for fixed a ^ b and a,beU In this thesis we give a relationship between the classes S, M{d) and M(a,b). For the Mia) class, we use omited value transformation and we investigate the properties of extreme points and support points of the class M(a). Haziran, 2004 Faruk UÇAR VI