Image segmentation and smoothing via partial differential equations

Abstract

Kısmi türevli denklem (KTD) tabanlı yaklaşımlar görüntü işlemede, bölütleme ve düzgünleştirme uygulamalarında yaygın olarak kullanılmaktadır. Perona-Malik doğrusal olmayan difüzyon modeli görüntü düzgünleştirme alanında kullanılan ilk KTD tabanlı yöntemdir. Bunun ardından klasik Mumford-Shah modeli hem görüntü bölütleme hem de düzgünleştirme problemlerine yönelik olarak geliştirilmiştir ve enerji fonksiyonelinin minimize edilmesini temel alır. Bu modelin kenar bulma, hareket analizi, medikal görüntüleme, nesne izleme gibi bir çok uygulama alanı bulunmaktadır. Bu model, görüntünün parçalı ve düzgün temsilini kullanarak bir görüntü bölütlemesi bulmanın bir yoludur. Ne yazık ki, problemin konveks olmaması ve çok sayıda yerel minimum değere sahip olmasından dolayı Mumford-Shah fonksiyonelini minimize edecek sayısal yöntemler bazı zorluklar taşırlar, bu yüzden yaklaşık yöntemler önerilmiştir. Bu yöntemlerden ikisi Ambrosio-Tortorelli yaklaşımı ve Chan-Vese aktif çevrit yöntemidir. Ambrosio ve Tortorelli, Mumford-Shah fonksiyoneli için eliptik yaklaşıma dayalı, pratik bir sayısal uygulama önermişleridir. Chan-Vese modeli, Mumford-Shah fonksiyonelinin parçalı sabit bir genelleştirmesidir ve düzey kümesi formülasyonuna dayanır. Yaygın olan diğer bir görüntü bölütleme tekniği ise Aktif Çevrit (Yılan) modelidir ve Chan-Vese modeliyle ilintilidir. Bu çalışmada bütün bu modeller detaylı olarak incelenmiştir. Bu modellerin matematiksel ve sayısal analizleri çalışılmış ve performanslarını karşılaştırmak için denemeler gerçekleştirilmiştir.Anahtar Kelimeler: Görüntü İşleme, Kısmi Türevli Denklemler, Optimizasyon, Fonksiyonel Analiz, Sayısal Analiz.

In image processing, partial differential equation (PDE) based approaches have been extensively used in segmentation and smoothing applications. The Perona-Malik nonlinear diffusion model is the first PDE based method used in the image smoothing tasks. Afterwards the classical Mumford-Shah model was developed to solve both image segmentation and smoothing problems and it is based on the minimization of an energy functional. It has numerous application areas such as edge detection, motion analysis, medical imagery, object tracking etc. The model is a way of finding a partition of an image by using a piecewise smooth representation of the image. Unfortunately numerical procedures for minimizing the Mumford-Shah functional have some difficulties because the problem is non convex and it has numerous local minima, so approximate approaches have been proposed. Two such methods are the Ambrosio-Tortorelli approximation and the Chan-Vese active contour method. Ambrosio and Tortorelli have developed a practical numerical implementation of the Mumford-Shah model which based on an elliptic approximation of the original functional. The Chan-Vese model is a piecewise constant generalization of the Mumford-Shah functional and it is based on level set formulation. Another widely used image segmentation technique is the ?Active Contours (Snakes)? model and it is correlated with the Chan-Vese model. In this study, all these approaches have been examined in detail. Mathematical and numerical analysis of these models are studied and some experiments are performed to compare their performance.Keywords: Image Processing, Partial Differential Equations, Optimization, Functional Analysis, Numerical Analysis.