An alternative normal form for elliptic curve cryptograhy: Edwards curves

Abstract

Harold Edwards tarafından 2007 yılında karakteristiği 2'den farklı olan cisimler üzerindex^2 + y^2 = c^2(1 + x^2y^2) formunda yeni bir eliptik eğri formu tanımlandı. Uygun seçilenparametreler için yeni form üzerinde tanımlanan toplama işlemi, kriptoloji için önemli olantam toplama ve bütüunleştirilmis¸ toplama özelliklerine sahiptir. Bir başka deyişle, bu eğriüzerinde bir noktayı kendisiyle toplamak için yeni bir formüle gerek kalmamaktadır. Ayrıca,bu eğri üzerindeki herhangi iki nokta, hiçbir koşul gözetmeksizin, tanımlı toplama işlemiile toplanabilmektedir. D. Bernstein ve T. Lange, daha çok eliptik eğriyi kapsayabilmekiçin bu formu ax^2 + y^2 = c^2(1 + dx^2y^2) biçiminde genişletmişlerdir. Bu çalışmada Edwarseğrileri literatürünün genel bir derlemesi yapılmıştır. Öncelikle, karakteristiği ikidenfarklı olan cisimler üzerinde Edwards eğrileri tanımlanmış, bu eğriler üzerindeki toplamave iki katını alma işlemleri ve maaliyetlerinin nasıl hesaplandığı gösterilmiştir. Daha sonra,bilinen eliptik eğrileri ve Edwards eğrileri kriptolojik uygulamalara uygunluk bakımındankarşılaştırılmıştır. Ayrıca, Edwards eğrilerinden hangisinin kriptolojik uygulamalar için dahauygun olduğu belirlenmiştir.

A new normal form x^2 + y^2 = c^2(1 + x^2y^2) of elliptic curves was introduced by M. HaroldEdwards in 2007 over the field k having characteristic dierent than 2. This new form hasvery special and important properties such that addition operation is strongly unified andcomplete for properly chosen parameter c . In other words, doubling can be done by usingthe addition formula and any two points on the curve can be added by the addition formulawithout exception. D. Bernstein and T. Lange added one more parameter d to the normalform to cover a large class of elliptic curves, x^2 + y^2 = c^2(1 + dx^2y^2) over the same field.In this thesis, an expository overview of the literature on Edwards curves is given. First, thetypes of Edwards curves over the nonbinary field k are introduced, addition and doubling overthe curves are derived and ecient algorithms for addition and doubling are stated with theircosts. Finally, known elliptic curves and Edwards curves are compared according to theircryptographic applications. The way to choose the Edwards curve which is most appropriatefor cryptographic applications is also explained.