Completion, pricing and calibration in a Levy market model

Abstract

Bu tezde, Lévy süreçleri ile modelleme üç kısımda ele alınmıştır. Birinci kısımda genel geometrik Lévy piyasa modeli detaylı olarak incelenmiştir. Bu tip modeller genellikle tam olmadıkları için, piyasanın, Lévy süreçlerine dayalı kuvvet-sıçrama süreçleri ile genişletilerek tam hale getirilebileceği gösterilmiştir. Tezin ikinci kısmı, Avrupa tipi opsiyonlar için iki farklı fiyatlama metodu sunmaktadır, bu metodlar martingale yaklaşımı ve hızlı Fourier dönüşümü kullanılarak hesaplanan Fourier metoduna dayalı karakteristik formül metodudur. Fiyatlama metodlarının performans karşılaştırması, hızlı Fourier dönüşümünün ürettiği hataların çok küçükolduğu bu yüzden iki metodun neredeyse özdeş sonuçlar verdiği sonucuna götürmüştür. Fiyatlama bölümü boyunca Lévy sürecinin sıçrama büyüklüklerinin belirli bir dağılıma sahip olduğu varsayılmıştır. Üçüncü kısım, Lévy süreçlerinin deneysel uygulamalarına katkıda bulunmaktadır. Bu bölümde sıçrama-difüzyon modellerinin stokastik volatilite genişlemesi ele alınmış ve Standard&Poors (S&P) 500 endeksi opsiyon verisi üzerinde sıçrama-difüzyon modeli, Bates stokastik volatilite sıçrama-difüzyon modeli ve Black-Scholes modelinin kalibrasyonu yapılmıştır. Model parametreleri bir optimizasyon algoritması yardımıyla tahmin edilmiştir. Stokastik volatilite genişletmesinin etkileri araştırılmış ve zımni volatilite grafiğini açıklayabilmek için sıçrama ve stokastik volatilitenin gerekli olduğu bulunmuştur. Ek olarak, üç modelin veri uyum performansları karşılaştırılmış ve stokastik volatilite sıçrama-difüzyon modelinin daha iyi sonuçlar verdiği gösterilmiştir.

In this thesis, modelling with Lévy processes is considered in three parts. In the first part, the general geometric Lévy market model is examined in detail. As such markets are generally incomplete, it is shown that the market can be completed by enlarging with a series of new artificial assets called ?power-jump assets? based on the power-jump processes of the underlying Lévy process. The second part of the thesis presents two different methods for pricing European options: the martingale pricing approach and the Fourier-based characteristic formula method which is performed via fast Fourier transform (FFT). Performance comparison of the pricing methods led to the fact that the fast Fourier transform produces very small pricing errors so the results of both methods are nearly identical. Throughout the pricing section jump sizes are assumed to have a particular distribution. The third part contributes to the empirical applications of Lévy processes. In this part, the stochastic volatility extension of the jump diffusion model is considered and calibration on Standard&Poors (S&P) 500 options data is executed for the jumpdiffusionmodel, stochastic volatility jump-diffusion model of Bates and the Black-Scholes model. The model parameters are estimated by using an optimization algorithm. Next, the effect of additional stochastic volatility extension on explaining the implied volatility smile phenomenon is investigated and it is found that both jumps and stochastic volatility are required. Moreover, the data fitting performances of three models are compared and it is shown that stochastic volatility jump-diffusion model gives relatively better results.