Energy preserving methods for Kortewe de Vries type equations

Abstract

Yüzeysel ve tek dalgalar en iyi bilinen iki su dalgası çeşididir. Yüzeysel dalgalar, dalgaboyu suyun yerelderinliğinden büyük olan dalgalardır. Tekli (soliton) dalgalar ise birbirleriyle çarpıştıktan sonra başlangıçtakişekil ve hızlarını koruyanlardır. Fizik ve matematikte sık sık karşılaşılan tekli dalgaların çoğu Korteweg deVries (KdV) şeklindeki denklemlerle doğrusal olmayan kısmi türevli denklem şeklinde ifade edilmektedir.Son yıllarda KdV denklemi ve benzer denklemlerin çözümü için Hamilton ve simplektik yapıları ile ilkintegralleri gibi geometrik özelliklerini koruyan birçok sayısal yöntem geliştirilmiştir. Bu yöntemlersimplektik ve çoklu-simplektik yöntemler olarak sınıflandırılmakta olup, bunlar uzun vadeli hesaplamalarsonucunda istikrarlı sonuçlar üretirken, denklemlerin Hamilton ve simplektik yapılarını aynı anda korumakmümkün olmamaktadır.Bu tez ortalama vectör alan (OVA) yönteminin Hamilton yapıdaki doğrusal olmayan kısmi diferansiyeldenklemlere uygulanması ile ilgilidir. Bu kısmi diferansiyel denklemlerden KdV denklemi, değiştirilmiş KdVdenklemi, Ito sistemi ve KdV-KdV sistemleri Hamilton yapılarının aykırı simetrik özellikleri korunarak uzaydaayrıklaştırılmışlar ve elde edilen adi diferansiyel denklemler OVA yöntemi ile çözülmüştür. Uzun zamanlıintegrasyon sonucunda denklemlerin enerjisinin ve diğer integrallerinin iyi korunduğu sayısal örneklerledoğrulanmıştır. Çözülen her denklem için OVA yönteminin dağılım özelliklerini ne ölçüde koruduğu gösterilmiştir.

Two well-known types of water waves are shallow water waves and the solitary waves. Theformer waves are those waves which have larger wavelength than the local water depth and thelatter waves are used for the ones which retain their shape and speed after colliding with eachother. The most well known of the latter waves are Korteweg de Vries (KdV) equations, whichare widely used in many branches of physics and engineering. These equations are nonlinearlong waves and mathematically represented by partial differential equations (PDEs). Forsolving the KdV and KdV-type equations, several numerical methods were developed in therecent years which preserve their geometric structure, i.e. the Hamiltonian form, symplecticityand the integrals. All these methods are classified as symplectic and multisymplecticintegrators. They produce stable solutions in long term integration, but they do not preservethe Hamiltonian and the symplectic structure at the same time.This thesis concerns the application of energy preserving average vector field integrator(AVF)to nonlinear Hamiltonian partial differential equations (PDEs) in canonical and non-canonicalforms. Among the PDEs, Korteweg de Vries (KdV) equation, modified KdV equation, theIto?s system and the KdV-KdV systems are discetrized in space by preserving the skewsymmetryof the Hamiltonian structure. The resulting ordinary differential equations (ODEs)are solved with the AVF method. Numerical examples confirm that the energy is preservedin long term integration and the other integrals are well preserved too. Soliton and travelingwave solutions for the KdV type equations are accurate as those solved by other methods.The preservation of the dispersive properties of the AVF method is also shown for each PDE.