New approaches to desirability functions by nonsmooth and nonlinear optimization

Abstract

Çekicilik fonksiyonları, çok yanıtlı optimizasyon alanında çalışan bilim adamları ve araştırmacılarınilgisini çekmeye devam etmektedir. Tekil ve toplam çekicilik fonksiyonlarının farklıformülasyonu ile elde edilmiş çok çeşitli çekicilik fonksiyonu vardır. Derringer ve Suichtarafından geliştirilen ve bu tezde kullanılan fonksiyonlar hala pratikte en çok tercih edilenve farklı versiyonları türetilmiş fonksiyonlardır. Diğer taraftan bunlar türevlenemeyen noktalariçermektedir ve bu nedenle pürüzlü fonksiyonlardır. Bu fonksiyonların optimizasyonuiçin türevsiz arama teknikleri ve türevlenemeyen noktalarını gidermek için o noktada yüksekdereceli polinomlarla değiştirilmeleri gibi yaklaşımlar mevcuttur. Bu yaklaşımların moderndoğrusal olmayan optimizasyon teknikleri ve ilgili yazılımlarla çeşitlendirilmesi gerekmektedir.Bu tezin çıkış noktası pürüzlü birleşik kısıtlı bir optimizasyon problemi olan toplam çekicilikfonksiyonunun en büyüklenmesi icin yeni etkili bir çözüm yolu geliştirmektir. İkinci önemlinokta pratikte kullanılan fonksiyonların çesitliliğine neden olan parçalı yapıyı açığa çıkarmaktır. Bu amaçla min-tipi ve max-tipi fonksiyonlar üzerinde yoğunlaşılmıştır.Bu tezde, tekil çekicilik fonksiyonlarının parçalı yapısının yarattığı zorluğu gidermek amacıyla,problemin ikili bir tam sayı ile yeniden formüle edilmesine dayanan ayarlı çekicilik fonksiyonları tanıtılmıştır. Bu değişiklikler yapıldıktan sonra, doğrusal olmayan amaç fonksiyonutürevlenemeyen noktalar içeren ve faktörlerin ve yanıtların sınırları ile, ikili değiskene aitbir kısıt içeren sürekli bir optimizasyon problemi elde edilir. Ayarlı çekicilik fonksiyonlarınıiki çok bilinen örnek üzerinde açıklandıktan sonra, optimizasyon problemini çözmek icinDeğiştirilmiş Altgradyan Algoritması, GAMS ortamında yazılarak CONOPT çözücüyle birliktekullanılmıştır. GAMS ortamının BARON çözücüsü de bu problemlerdeki ayarlı çekicilikfonksiyonlarının optimizasyonu için çalıstırılmıştır. Bu iki örnek üzerinde BARON kullanılarakyapılan uygulama ile bu yaklaşımın var olan çekicilik fonksiyonu maximizasyonuyaklaşımlarımdan daha etkili bir alternatif çözüm yöntemi olduğu gösterilmiştir.Toplam çekicilik fonksiyonlarının optimizasyon problemlerinin bazı değişik formülasyonlarıgösterilmiş ve sonra sonlu bir ayrıştırma yöntemi geliştirilerek genelleştirilmiş çekicilik fonksiyonlarıelde edilmiştir. Bu fonksiyonları oluşturmada parçalı max-tipi fonksiyonlar kullanılmış ve bunların bazı yapısal ve topolojik özellikleri tanımlanmıştır.Bunlara ek olarak, çok yanıtlı optimizasyon problemleri için İki Aşamalı Yaklaşım yöntemiönerilmiştir. Bu yöntem parametrelerin ayrıştırılması ile toplam problemin optimizasyon (y-uzayında)ve temsil (x-uzayında) şeklinde ayrıştırılmasına dayanmaktadır. Toplam problemgenelleştirilmiş yarı-sonsuz bir problem haline getirilerek yanıtlı modellerindeki belirsizliğekarşı sağlamlaştırılmıştır.

Desirability Functions continue to attract attention of scientists and researchers working inthe area of multi-response optimization. There are many versions of such functions, differingmainly in formulations of individual and overall desirability functions. Derringer andSuich?s desirability functions being used throughout this thesis are still the most preferredones in practice and many other versions are derived from these. On the other hand, they havea drawback of containing nondifferentiable points and, hence, being nonsmooth. Currentapproaches to their optimization, which are based on derivative-free search techniques andmodification of the functions by higher-degree polynomials, need to be diversified consideringopportunities offered by modern nonlinear (global) optimization techniques and relatedsoftwares. A first motivation of this work is to develop a new efficient solution strategy for themaximization of overall desirability functions which comes out to be a nonsmooth compositeconstrained optimization problem by nonsmooth optimization methods.We observe that individual desirability functions used in practical computations are of min-type,a subclass of continuous selection functions. To reveal the mechanism that gives rise toa variation in the piecewise structure of desirability functions used in practice, we concentrateon a component-wise and generically piecewise min-type functions and, later on, max-type functions. It is our second motivation to analyze the structural and topological properties ofdesirability functions via piecewise max-type functions.In this thesis, we introduce adjusted desirability functions based on a reformulation of theindividual desirability functions by a binary integer variable in order to deal with their piecewisedefinition. We define a constraint on the binary variable to obtain a continuous optimizationproblem of a nonlinear objective function including nondifferentiable points withthe constraints of bounds for factors and responses. After describing the adjusted desirabilityfunctions on two well-known problems from the literature, we implement modified subgradientalgorithm (MSG) in GAMS incorporating to CONOPT solver of GAMS software forsolving the corresponding optimization problems. Moreover, BARON solver of GAMS isused to solve these optimization problems including adjusted desirability functions. Numericalapplications with BARON show that this is a more efficient alternative solution strategythan the current desirability maximization approaches.We apply negative logarithm to the desirability functions and consider the properties of theresulting functions when they include more than one nondifferentiable point. With this approachwe reveal the structure of the functions and employ the piecewise max-type functionsas generalized desirability functions (GDFs). We introduce a suitable finite partitioning procedureof the individual functions over their compact and connected interval that yield ourso-called GDFs. Hence, we construct GDFs with piecewise max-type functions which haveecient structural and topological properties. We present the structural stability, optimalityand constraint qualification properties of GDFs using that of max-type functions.As a by-product of our GDF study, we develop a new method called two-stage (bilevel) approachfor multi-objective optimization problems, based on a separation of the parameters:in y-space (optimization) and in x-space (representation). This approach is about calculatingthe factor variables corresponding to the ideal solutions of each individual functions in y, andthen finding a set of compromised solutions in x by considering the convex hull of the idealfactors. This is an early attempt of a new multi-objective optimization method. Our first resultsshow that global optimum of the overall problem may not be an element of the set ofcompromised solution.The overall problem in both x and y is extended to a new refined (disjunctive) generalizedsemi-infinite problem, herewith analyzing the stability and robustness properties of the objectivefunction. In this course, we introduce the so-called robust optimization of desirabilityfunctions for the cases when response models contain uncertainty. Throughout this thesis, we give several modifications and extensions of the optimization problem of overall desirabilityfunctions.