Continuous time mean variance optimal portfolios

Abstract

En popüler ve temel portföy optimizasyonu problemi Markowiz'in tekdönemli ortalama-varyans portföy seçim problemidir. Ancak tekdönemlik statik yapısı ve hisse senedi fiyatı beklenen getirisinintahmininde yaşanılan problemler nedeniyle eleştirilmektedir. Buamaçla, sürekli zamanda ortalama-varyans portföy problemini çözenbir çok çalışma bulunmaktadır. Hisse senedi beklenen getirisindeyaşanan problemi çözmek için 1992'de Black ve Litterman kesiklizaman Bayes yöntemini önermiştir. Daha sonra Lindberg,Black-Scholes standart fiyat dinamiklerini yeniden düzenleyereksürekli zaman ortalama-varyans portföy problemini çözmüştür.Bu tezde, öncelikle Lindberg'in yaklaşımı ele alınıp jump-difüzyonpazar dinamiği kullanılarak geliştirilmiş ve genel sonuçlarınispatları düzeltilmiştir. Ayrıca, Lindberg'in fiyatparametrelendirmesinin etkileri, farklı hisse senedi fiyatıbeklenen getirileri kullanılarak gösterilmiş, optimal portföyünjump ve difüzyon risklerine bağımlılığı analiz edilmiş ve yönteminnasıl kullanılacağı gösterilmiştir.İkinci olarak, Korn ve Trautman'ın Lagrange fonksiyonu yaklaşımıanlatılmış ve optimal portföy sürecinin tam olarak formunun ifadeedilmesi ile ilgili çıkarılan yeni sonuçlar verilmiştir. Ayrıca,Schweizer'in L2- projeksiyon yönetimi kullanılarak optimalportföy ve optimal varlık süreçleri elde edilmiştir. Bu sonuçlarelde edilirken, piyasa modeli olarak Lindberg'in modelikullanılmıştır.Son olarak, bu üç farklı optimizasyon yönetimi ayrıntılı birşekilde karşılaştırılmış, öne çıkan özellikleri örneklerlevurgulanmıştır.

The most popular and fundamental portfolio optimization problem isMarkowitz's one period mean-variance portfolio selection problem.However, it is criticized because of its one period static nature.Further, the estimation of the stock price expected return is aparticularly hard problem. For this purpose, there are a lot ofstudies solving the mean-variance portfolio optimization problemin continuous time. To solve the estimation problem of the stockprice expected return, in 1992, Black and Litterman proposed theBayesian asset allocation method in discrete time. Later on,Lindberg has introduced a new way of parameterizing the pricedynamics in the standard Black-Scholes and solved the continuoustime mean-variance portfolio optimization problem.In this thesis, firstly we take up the Lindberg's approach, wegeneralize the results to a jump-diffusion market setting and wecorrect the proof of the main result. Further, we demonstrate theimplications of the Lindberg parameterization for the stock pricedrift vector in different market settings, we analyze thedependence of the optimal portfolio from jump and diffusion risk,and we indicate how to use the method.Secondly, we present the Lagrangian function approach of Korn andTrautmann and we derive some new results for this approach, inparticular explicit representations for the optimal portfolioprocess. In addition, we present the L2-projection approachof Schweizer for the continuous time mean-variance portfoliooptimization problem and derive the optimal portfolio and theoptimal wealth processes for this approach. While, deriving theseresults as the underlying model, the market parameterization ofLindberg is chosen.Lastly, we compare these three different optimization frameworksin detail and their attractive and not so attractive features arehighlighted by numerical examples.