Adaptive discontinuous Galerkin methods for convection dominated optimal control problems

Abstract

Gerçek yaşamda karşlaşılan, teknolojik sistemlerin eniyileme yöntemleriyle kontrolü, çevresel süreç¸ içindeki parametrelerin belirlenmesi, akışkan kontrol problemleri gibi çok sayıda problem, konveksiyon difüzyon terimleri içeren kısmi türevli denklem sistemlerinden oluşan eniyileme modelleri şeklindedir.Konveksiyon terimlerinin difüzyon terimlerinden çok daha büyük olduğu durumlarda, bu tür denklemlerin çozümleri, çözümün yüksek eğime sahip olduğu bölgelerde katmanlar oluşturmaktadır. Bu tür kısmi türevli denklemlerin sayısal çözümleri genelde istenmeyen salınımlar ürettiğinden, konveksiyon teriminin yapısı göz önüne alınarak, uygun yöntemlerin uygulanması gerekmektedir. Problemdeki uzay değişkenlerinin ayrıklaştırılması ve eniyileme yöntemlerinin entegrasyonu, problemin çözümün elde edilmesi sürecinin verimliligi açısından da önemlidir. Son yıllarda, sınır ya da iç bölgelerde salınımlar gösteren konveksiyon ağırlıklı denklemlerin sayısal çözümlerinde, süreksiz Galerkin sonlu elemanlar yöntemi, yüksek mertebeden kesinliklikte iyi sonuçlar verdiğinden sonlu farklar, sonlu hacimler ve sürekli sonlu elemanlar yöntemlerine bir seçenek olarak ortaya çıkmıştır.Bu tez, konveksiyon ağırlıklı ikinci dereceden doğrusal eniyileme kontrol problemleri için süreksiz Galerkin yöntemlerinin çözülmesini ve analizini içermektedir. Konveksiyon ağırlıklı eniyileme problemlerinin kararlaştırılmasında kullanılan standart sonlu elemanlar yöntemleri eniyileme problemleri için tutarsızlıklar oluşturduğundan, eniyilemeli kontrol probleminin doğrudan ayrıklaştırılmasıyla elde edilen sonuçlarla, eniyileme koşullarından elde edilen sisteminin ayrıklaştırılması sonucu elde edilen sonuçlar birbirinden farklılıklar göstermektedir. Buna karşın, simetrik süreksiz Galerkin yöntemleri aynı ayrık eniyileme koşullarını vermektedir. Simetrik olmayan, süreksiz Galerkin yöntemleri ise ancak cezalandırma sabiti yeterince büyük alındığında benzer ayrık eniyileme koşullarını oluşturmaktadır. Sayısal sonuçları içeren sonradan hata tahminleri kısıtsız ve kontrol kısıtlı eniyileme kontrol problemleri üzerinde simetrik kesintili Galerkin yöntemi kullanılarak elde edilmiştir. Sınır ya da iç katmanlara sahip konveksiyon ağırlıklı eniyileme problemleri, durum ve eşlenik kısmi türevli denklemlerinin zıt yönlü konveksiyon terimi içermesinden dolayı hem konveksiyon teriminin yönünde hem de onun ters yönünde salınımlar yapar. Sınır ya da iç katmanlar üzerindeki bu salınımları azaltmak için uyarlamalı ağ daraltma yöntemi kullanıldı. Son olarak, kısıtsız ve kontrol kısıtlı eniyileme örneklerinden elde edilen sayısal sonuc¸lar teorik analizden elde edilen sonuçları doğrulamaktadır. Bu da kesintili Galerkin yöntemlerinin eniyileme kontrol problemleri üzerindeki etkinliğini göstermektedir.

Many real-life applications such as the shape optimization of technological devices, the identification of parameters in environmental processes and flow control problems lead to optimization problems governed by systems of convection diusion partial dierential equations (PDEs). When convection dominates diusion, the solutions of these PDEs typically exhibit layers on small regions where the solution has large gradients. Hence, it requires special numerical techniques, which take into account the structure of the convection. The integration of discretization and optimization is important for the overall eciency of the solution process. Discontinuous Galerkin (DG) methods became recently as an alternative to the finite dierence, finite volume and continuous finite element methods for solving wave dominated problems like convection diusion equations since they possess higher accuracy.This thesis will focus on analysis and application of DG methods for linear-quadratic convection dominated optimal control problems. Because of the inconsistencies of the standard stabilized methods such as streamline upwind Petrov Galerkin (SUPG) on convection diffusion optimal control problems, the discretize-then-optimize and the optimize-then-discretize do not commute. However, the upwind symmetric interior penalty Galerkin (SIPG) method leads to the same discrete optimality systems. The other DG methods such as nonsymmetric interior penalty Galerkin (NIPG) and incomplete interior penalty Galerkin (IIPG) method also yield the same discrete optimality systems when penalization constant is taken large enough. We will study a posteriori error estimates of the upwind SIPG method for the distributed unconstrained and control constrained optimal control problems. In convection dominated optimal control problems with boundary and/or interior layers, the oscillations are propagated downwind and upwind direction in the interior domain, due the opposite sign of convection terms in state and adjoint equations. Hence, we will use residual based a posteriori error estimators to reduce these oscillations around the boundary and/or interior layers. Finally, theoretical analysis will be confirmed by several numerical examples with and without control constraints.