Existence problem of almost p-ary perfect and nearly perfect sequences

Abstract

Yaklaşık p-ary mükemmel ve mükemmele yakın diziler ile sırasıyla nispi fark kümeleri ve doğrudan çarpım fark kümeleri arasında denklik vardır. Bu özellik, Chee, Tan ve Zou' nun söz konusu dizilerin varolabilirlik durumlarını Dizayn Teorisinin yöntemlerini kullanarak tespit etmelerine imkan vermiştir. Spesifik olarak onlar, [6]'da n100 için, periyodu n + 1 olan yaklaşık p-ary mükemmel ve mükemmele yakın dizilerin var olup olmadığını bazı n değerleri hariç tespit etmişlerdir. Bu tezde, biz nispi fark kümelerini incelerken, tamsayılar üzerine bir grup Diophantine denklem elde ettik ve n(50,76,94,99,100) için periyodu n + 1 olan yaklaşık p-ary mükemmel dizilerin mevcut olmadığını ispatladık. Aynı zamanda, nispi fark kümeleri için kullandığımız Diophantine denklemlerini doğrudan çarpım fark kümeleri için de uyarlayarak kullanabileceğimizi gözlemledik ve bu yolla, p = 2, p = 3 ve p = 5 için, periyodu n + 1 olan yaklaşık p-ary mükemmele yakın tip II dizilerin belirli n değerleri için mevcut olmadığını ispatladık. Sonuc¸ olarak, Chee, Tan ve Zou tarafından [6]'da sorulan iki soruya cevap verdik.

Almost p-ary perfect and nearly perfect sequences are equivalent to certain relative difference sets and direct product difference sets, respectively. This feature enables Chee, Tan and Zhou to determine the existence status of those sequences by using the tools of Design Theory. In particular, they determined the existence status of almost p-ary perfect and nearly perfect sequences of period n+1 for n100, except some open cases in [6]. In this thesis, we obtained a set of Diophantine equations in integers while observing relative difference sets, and proved nonexistence of almost p-ary perfect sequences of period n + 1 for n(50,76,94,99,100).Also, we observed that it was possible to extend Diophantine equations that we used for relative difference sets to the direct product difference sets, thereby proved the nonexistence of almost p-ary nearly perfect sequences of type II of period n + 1 for p = 2, p = 3 and p = 5 at certain values of n. As a result, we answered two questions posed by Chee, Tan and Zhou in [6].