Backward stochastic differential equations and their applications to stochastic control problems

Abstract

Geriye doğru stokastik diferansiyel denklemler (GSDD), ilk olarak 1973 yılında Bismut tarafından takdim edilmiştir. İlerleyen yıllarda, dünya çapında büyük ilgi uyandırarak, fiyatlama ve riskten korunma, fayda teorisi, optimal kontrol teorisi gibi bir çok alanda uygulanmaya başlamıştır. 1997 yılında ise El Karoui, Peng ve Quenez, bu alandaki çalışmalarını `Finans Alannda Geriye Doğru Stokastik Diferansiyel Denklemler adlı makalelerinde bir araya getirmişlerdir. Bu çalışmada, Y_T=/xi son değerine sahip -dY_t=f(t,Y_t,Z_t)dt-Z_t^*dW_t biçimindeki GSDD' nin (Y,Z) uyarlanmış çözüm çifti incelenmiştir. Burada Z^*, n x n boyutundaki Z matrisinin transpozuna karşılık gelmektedir; f' ye standart üreten, /xi' ye ise son değer koşulu denilmektedir. Bu tezde, söz konusu makalenin bazı bölümlerini detaylı bir şekilde çalıştık. Geriye doğru stokastik diferansiyel denklemlerin temel teoremlerini ispat ettik ve stokastik kontrol problemleriyle ilişkilendirdik. `A Priori estimates` yöntemini kullanarak çözümün varlığını ve tekliğini belli koşullar altında ispatladıktan sonra, en iyi fayda veya en az maliyete tekabül eden optimal stokastik kontrol değerini nasıl seçeceğimizi gösterdik. Tezin sonunda, standart üreten olarak adlandırılan f' nin içbükey veya dışbükey olması durumunda, GSDD' nin çözümü için optimal seçim önerisinde bulunduk. Bununla ilgili olarak, tüketim sürecini göz önünde bulunduran model ve yüksek faizden borçlanmayla riskten korunma örnekleri için birer uygulama yaptık.

Backward stochastic differential equations (BSDE) were firstly introduced by Bismut in 1973. Following decades, it has been great interest all over the world and appeared in numerious areas such as pricing and hedging claims, utility theory and optimal control theory. In 1997, El Karoui, Peng and Quenez brought together their brilliant studies in the article `Backward Stochastic Differential Equations in Finance`. They considered an adapted solution pair (Y,Z) of the following BSDE: -dY_t=f(t,Y_t,Z_t)dt-Z_t^*dW_t with the terminal value Y_T=/xi. Here Z^* corresponds to the transponse of the n x n matrix Z, f is called the generator and /xi is the terminal condition. In this thesis, we study some chapter of this paper in detail. We prove the fundamental theorems of backward stochastic differential equations and associate them with stochastic control problems. After we prove the existence of unique solution using `a Priori estimates` under some restrictions, we show how to choose the optimal stochastic control that achieves the best utility or the least cost. At the end of the thesis, we offer an optimal choice for the solution of the BSDE in the cases of the standard generator f is concave or convex. An application for the model with consumption and an application for hedging claims with higher interest rate for borrowing are provided.