Backward stochastic differential equations and Feynman-Kac formula in the presence of jump processes

Abstract

Geriye Doğru Stokastik Diferansiyel Denklemler (GSDDler) bitiş zamanındaki değeri verilen yeni bir stokastik diferansiyel denklem sınıfı olarak ortaya çıkmıştır. GSDDlerin son kırk yıldır bilinmelerine rağmen uygulama alanı gittikçe genişlemektedir. Bu teze temel oluşturan El Karoui, Peng ve Queneze ait Backward Stochastic Differential Equations in Finance (1997) isimli makale finansal matematikte son derece önemli bir yer tutmaktadır. Tezin işleniş şekli aşağıdaki aşamalardan oluşmaktadır: Öncelikle, Brown hareketi ile oluşturulan GSDDler için temel teoremler ispatlanmıştır. Daha sonra, kısmi diferansiyel denklemlere (KDDlere) uygulama olan Feynman-Kac formülü incelenmiştir. Ayrıca, sıçramalarınvarlığında GSDDlerin ana teoremlerini açık şekilde ispatlamamız için Situnun 1997 yılındaki çalışmaları ve Theory of Stochastic Differential Equations with Jumps and Applications başlıklı kitabı bize yol göstermiştir. Sonrasında, genel Lévy süreçleri için Feynman-Kac formülü ispatlanmıştır. Son olarak, finansal matematikte bazı uygulamalar yapılmıştır.

Backward Stochastic Differential Equations (BSDEs) appear as a new class ofstochastic differential equations, with a given value at the terminal time T. Theapplication area of the BSDEs is conceptually wide which is known only for fortyyears. In financial mathematics, El Karoui, Peng and Quenez have a fundamentaland significant article called ?Backward Stochastic Differential Equations inFinance? (1997) which is taken as a groundwork for this thesis. In this thesiswe follow the following steps: Firstly, the principal theorems of BSDEs driven byBrownian motion are proved. Later, an application to partial differential equations(PDEs) is presented i.e. generalization of Feynman-Kac formula. Moreover,the studies of Situ in 1997 and his book entitled with ?Theory of StochasticDifferential Equations with Jumps and Applications? provide us a framework toprove explicitly the main theorems of BSDEs in the presence of jumps. Afterward,Feynman-Kac formula for general Lévy processes is proven. Lastly, theresults are concluded by some applications in financial mathematics.