Pricing American options under discrete and continuous time setting

Abstract

Bu tezde, Amerikan tipi opsiyonların kesikli ve sürekli modellerdeki fiyatlaması analiz edilmiştir. İlk olarak dayanak varlığın temettü ödemediği varsayımı altında kesikli fiyatlama modeli incelenmiştir. Bu çerçevede Snell envelope ve optimal durma problemlerinden yararlanarak Amerikan opsiyonlarının teorik fiyatları elde edilmiştir. Ayrıca, bu konuyla ilgili başlıca kaynaklardan olan Lamberton ve Lapeyre'in (1996) temel sonuçları detaylı bir şekilde ispatlanmış ve Amerikan ile Avrupa tipi opsiyonların temettüsüz durumda aynı fiyata sahip olduğu gösterilmiştir. Daha sonrasında kesikli piyasalar için gösterilen bu sonuçlar, temettü durumunda sürekli piyasalar için incelenmiştir. Black-Scholes modeli baz alınarak fiyatlama konusu iki farklı yaklaşım altında incelenmiştir: martingale ile fiyatlama ve varvasyonel eşitsizlik teknikleri. Martingale yaklaşımı altında opsiyonun iskonto edilmiş ödeme değerinin beklentisinin en yüksek olduğu durma anı belirlenmiştir. Bundan yararlanarak temettülü ve temettüsüz durumlar için iki ayrı fiyatlama yapılmıştır. Ayrıca temettüsüz durumda Amerikan opsiyonlarının erken kullanımının optimal olmadığı ve temettülü durumda ise bu kuralın geçersiz olduğu gösterilmiştir. Daha sonrasında varyasyonel eşitsizlikler takdim edilmiş ve bunların düzenli çözümleri araştırılmıştır. Genel olarak bu yaklaşımlar ile Amerikan opsiyonları için kapalı bir çözüm elde edilemediğinden farklar metodu ile türevler ve PSOR yöntemleri takdim edilmiştir. Son olarak, bu yöntemlerin uygulanabilirlikleri karşılaştırılıp, Black-Scholes modelinin parametreleri kullanım fiyatı, temettü ve volatilitenin fiyatlamaya etkisi nümerik olarak ortaya konulmuştur. Bu çalışma bir değerlendirme ve gelecek çalışmalara bir bakış ile sonuçlandırılmıştır.

In this thesis, pricing of American options are analyzed in discrete and continuous time markets. We first discuss the discrete-time valuation of American options assuming that the underlying asset pays no dividend during the life of the option. In this setting, we uniquely price American options by introducing the Snell envelope and optimal stopping time problem. We prove the main results studied in Lamberton and Lapeyre (1996) in details. In addition, we show that the price of an American call option with no dividend is equal to the price of its European counterpart. Then, we extend this results to the continuous-time for both dividend and no dividend case. Following Black-Scholes model, we present two different techniques to price American options: martingale pricing technique and variational inequalities. Under martingale pricing approach, we take the expectation of discounted payoff process and determine the stopping time that maximizes this expected value. Then, we derive a pricing formula for both dividend and no dividend case. We also show that an early exercise is not optimal for American call options without dividend. We observed that this rule is not valid for American call options on a dividend paying underlying asset. Then, we introduce the variational inequalities that an American option satisfies and investigate the regular solutions of this inequalities. Hovewer, these approaches generally do not admit a closed-form solution for the price of American options. Therefore, we give a brief introduction to the finite difference and PSOR methods and adapt these methods for American options. Finally, a numerical application is done by comparing the efficiences of these methods. Moreover, the impact of Black-Scholes parameters strike price,volatility and dividend yield on the price of American options are also investigated. The thesis ends with a conclusion and an outlook to future studies.