Computation of the greeks in black-scholes-merton and stochastic volatility models using malliavin calculus

Abstract

Opsiyonların parametrelerine göre hassasiyet analizi (Greeks) finansal matematiğintemel konularından birisidir. Yatırımcılar, bu hesaplamalardan elde ettikleri bilgileri,hedging ya da alım satım kararlarında kullanmaktadırlar. Ancak Greek'lerinhesaplanması teknik zorluklardan dolayı bazı durumlarda kolay değildir. Bununyanı sıra, bazı opsiyonların fiyat fonksiyonları karmaşık olduğundan ya da kapalıçözümlerinin bulunmaması Greek'lerinin hesaplanmasını karmasık hale getirmektedir.Bu tezde, Black-Scholes-Merton ve stokastik volatiliti modellerivarsayımları altında Avrupa alım opsiyonlarının Greek'leriMalliavin analiz özellikle,`sonsuz boyutlu uzayda kısmi integrasyon` kullanılarak hesaplanmıştır. Buna ekolarak, Black-Scholes-Merton varsayımı altında hesaplanan Greekler sonlu farklarve pathwise yötemi ile karşılaştırılmıştır.Bu tez, son zamanlarda Malliavin analiz alanındaki gelişmeler vasıtasıyla Greekhesaplama literatürüne katkı sağlamaktadır. Bu yöntemin avantajı, elde edilenGreek formüllerinin sürekli ve süreksiz ödeme fonksiyonlarının her ikisine de uygulanabilmesidir.

The computation of the Greeks of options is an essential aspect of financial mathematics.The investors use the information gained from this aspect for hedgingpurposes or to decide whether to invest in an option or not. However, computationof the Greeks is not straightforward in some cases due to technical difficulties.For instance, the value function of some options are complicated or moreover insome cases they might not have a closed form solution which makes the computationof their Greeks cumbersome. If this is the case, the Greeks have tobe computed numerically. In this thesis, the Greeks of European call optionsare computed under Black-Scholes-Merton and stochastic volatility models assumptionswith Malliavin calculus in particular `infinite dimensional integrationby parts formula`. Moreover, the results for Black-Scholes-Merton assumptionsGreeks are compared with finite difference and pathwise methods.This thesis provides a contribution to computation of Greeks literature by meansof the Malliavin calculus. The advantage of the methodology followed in thisthesis is that, once the Greeks formula is obtained, it can be applied to anyoptions with continuous and discontinuous payoffs.