Relating undisturbed bits to other properties of substitution boxes

Abstract

Son araştırmalarda, bir değişim-kutusu (s-kutusu)'nun sıfırdan farklı girdi farkı için, karşılık gelen çıktı farkındaki bazı bitlerin değişmeyebileceği gözlemlendi. Bu değişm-eyen özel bitler rahatsız edilmemiş bitler olarak adlandırılır. Aslında bu bitler s-kutuları için bir olasılıklı kesik diferansiyel olarak da görülebilir. PRESENT şifreleme algoritmasında kullanılan s-kutularında ve bunların terslerinde rahatsız edilmemiş bitlerin varlığı gösterilmiştir. Bu algoritmaya 13 döngülük olası olmayan diferansiyel atak Tezcan (2013) tarafından uygulanmıştır. Bu atakta s-kutularının rahatsız edilmemiş bitleri kullanılmadan en fazla 7 raunta kadar çıkılabildi. Rahatsız edilmemiş bitlerin kriptografik uygulamaları verilmesine rağmen s-kutularına ait diğer özelliklerle olan ilişkisi bilinmemektedir. çalışmamızda, rahatsız edilmemiş bitlere sahip s-kutularının matematiksel özellikleriyle ilgili bazı sonuçları sunuyoruz. S-kutularının herhangi bir bileşeni (Boole fonksiyonu) lineer yapıya sahip ise bu s-kutularının rahatsız edilmemiş bitlere sahip olduğunu gösterdik. Ayrıca, s-kutularının bu bitleri ile fark dağılım tablosu (FDT) ve lineer yaklaşım tablosu (LYT) gibi diğer kriptografik araçların ilişkisi incelen-miş ve verilmiştir. Rahatsız edilmemiş bitleri üreten sıfırdan farklı girdi farklarını elde etmek için, FDT ile kıyaslandığında otokorelasyon tablolarının daha kullanışlı olduğunu gösterdik. Otokorelasyon tabloları, kesik diferansiyel kriptoanaliz için FDT' nin karşılığı olarak görülebilir. Verilen herhangi bir n x m dengeli s-kutusu için, bu s-kutusunun herhangi bir bileşen fonksiyonunun derecesi kuadratik olduğu zaman bu s-kutusunun rahatsız edilmemiş bitlere sahip olduğunu gösterdik.

Recently it was observed that for a particular nonzero input difference to an S-Box, some bits in all the corresponding output differences may remain invariant. This specific invariant bit is called undisturbed bit. Undisturbed bit can also be seen as a truncated differential with probability 1 for an S-Box. The existence of undisturbed bits was found in the S-Box of PRESENT and its inverse. A 13-round improbable differential attack on PRESENT was provided by Tezcan (2013) and without using the undisturbed bits in the S-Box an attack of this type can only reach 7 rounds. Although the observation and the cryptanalytic application of undisturbed bits are given, its relation with other properties of an S-Box remain unknown. This thesis presents some results on mathematical properties of S-Boxes having undisturbed bits. We show that an S-Box has undisturbed bits if any of its coordinate function has a nonzero linear structure. The relation of undisturbed bits with other cryptanalytic tools such as difference distribution table (DDT) and linear approximation table (LAT) are also given. We show that autocorrelation table is proven to be a more useful tool, compared to DDT, to obtain all nonzero input differences that yield undisturbed bits. Autocorrelation table can then be viewed as a counterpart of DDT for truncated differential cryptanalysis. Given an nxm balanced S-Box, we state that the S-Box has undisturbed bit whenever the degree of any of its coordinate function is quadratic.