On obtaining regular, weakly regular and non-weakly regular bent functions over finite fields and ring of integers modulo p^m

Abstract

Son yıllarda, karakteristigi tek olan sonlu cisimlerde tanımlı bükük fonksiyonlar üzerinde yapılan calışmalar çok yaygınlaşmıştır. Fakat, bükük fonksiyonların üretimi ve sınıflandırılması oldukça zor gözükmektedir. Karakteristiği 2 olan sonlu cisimler üzerinde yarı bükük fonksiyonlar kullanarak bükük fonksiyonlar üretme metodu ortaya çıkarılmıstır. Daha sonra bu metot, p tek bir asal sayı olmak üzere, p elemanlı sonlu cisimler üzerinde çalışacak şekilde geliştirilmiştir. Metodun anafikri, yarı bükük fonksiyonları, üretilecek üretilecek olan F bükük fonksiyonununWalsh spektrumunda sıfır bulundurmayacak şekilde yapıştırmaktır.Bu amaca, yarı bükük fonksiyonların Walsh dönüsümlerinin supportlarında ortak eleman olmayacak ve Walsh dönüşümlerinin supportlarının birleşimi yarı bükük fonksiyonların tanım kümesi olacak şekilde seçilmesiyle ulaşılabilir. Bu çalışmada, düzenli, zayıfça düzenli ve zayıfça olmayan düzenli bükük fonksiyonlar üretmeyi hedeflemekteyiz. Bu amac¸ için öncelikle makalelerinde verilen bazı çalışmaları p^m elemanlı sonlu cisimler ve tam sayı halkaları modulo p^m üzerine adapte ettik. Ayrıca, tam sayı halkaları modulo p^m üzerinde, metodu yarı bükük fonksiyonlar yerine, s >1 bir tam sayı olmak üzere, s-plato fonksiyonlar kullanarak çalışacak şekilde geliştirdik. Adaptasyon çalışmasının her aşamasında farklı sonuçlar elde ettiğimizi vurgulamak isteriz. Bükük fonksiyon üretme methodunu ikinci dereceden fonksiyonlar kullanarak bir uygulama yapmak amacıyla, p^m elemanlı sonlu cisimler ve tam sayı halkaları modulo p^m üzerinde tanımlı ikinci dereceden fonksiyonların Walsh spektrumunu hesapladık. . Tam sayı halkaları modulo p^m uzerinde uygulamayı yapabilmek için, bu kümede ikinci derece Gauss toplamını hesapladık. . Ayrıca, ürettiğimiz bu bükük fonksiyonların, düzenli, zayıfça düzenli ve zayıfça olmayan düzenli bükük fonksiyonlar olarak sınıflandırılabilmesi için bir yöntem verdik.

Bent functions over the finite fields of odd characteristics received a lot of attention of late years. Over the finite fields with characteristic 2, a method is given to construct bent functions using near bent functions. This method is then generalized to finite fields with p elements for an odd prime p by Cesmelioglu et al. The idea is constructing a bent function F by glueing the near-bent functions in such a way that Walsh spectrum of F do not include zero value. This can be achieved by combining the near-bent functions having no common element in supports of their Walsh transforms and the union of their support of Walsh transforms should be equal to domain of near-bent functions. In this thesis, we aim to construct regular, weakly regular and non-weakly regular bent functions. For this purpose, we first give an adaptation of the method given in, to the finite fields with p^m elements and ring of integers modulo p^m, where m is a positive integer greater than 1. Then, we generalize the method by using s plateaued functions, for an integer s> 1, instead of using near bent functions over ring of integers modulo p^m. It is notable to emphasize that, we obtain completely different results in every adaptation process.To apply the method of construction, we compute the Walsh spectrum of quadratic functions over finite fields with p^m elements and ring of integers modulo p^m. We evaulate the quadratic Gauss sum over Z_q to achieve the computation over the ring of integers. Also, we give a technique to classify the constructed bent functions as regular, weakly regular and non weakly regular.