Simulating stochastic differential equations using ito-taylor schemes

Abstract

Bu çalışmadaki asıl amacımız, stokastik Taylor metotlarını anlamak ve bölme noktalarındaki gerçek çözüme olan yakınlıklarını karşılaştırarak doğruluklarını ölçmek. Bizim varsayımımız şudur ki, daha yüksek mertebeli stokastik Taylor metotlarını kullandığımızda, stokastik diferansiyel denklemlerin gerçek çözümlerine daha iyi yaklaşım gösteren süreçler elde ederiz. Stokastik diferansiyel denklemler için yakınsama kriterlerini göz önünde bulundurarak farklı mertebelerden stokastik Taylor metotlarını verdik. Euler-Maruyama ve Milstein metotları, stokastik Taylor açılımındaki türevler kullanılarak elde edilirken, stokastik Runge-Kutta metodunu oluştururken bu türevlere ihtiyaç duyulmuyor. Bu nedenle, Runge-Kutta metotlarda daha az hesaplama zorluklarıyla daha yüksek mertebeli stokastik Taylor metotları elde edebiliriz. Ayrıca, tezin uygulama bölümünde, stokastik Runge-Kutta metotlarının gerçek çözümlere en iyi yaklaşan süreçleri sağladığını gözlemledik, örnek olarak Orsntein-Uhlenbeck sürecinin simülasyonunda ve opsiyon fiyatlama modellerinin Monte Carlo metotlarında.

The aim of this work is to understand the stochastic Taylor schemes and to measure the accuracy of them by comparing their closeness to the exact solutions at the discretization points. Our assumption is that when we use the stochastic Taylor schemes with higher orders, we obtain better approximation processes to exact solutions of the stochastic differential equations. We give the stochastic Taylor schemes with different orders by regarding the convergence criteria for the stochastic differential equations. While Euler-Maruyama and Milstein schemes are derived by using the derivatives of stochastic Taylor expansion, stochastic Runge-Kutta schemes do not need these derivatives in their constructions. Therefore, we have the chance to get higher order stochastic Taylor schemes with less computational difficulties in Runge-Kutta schemes. Moreover, in the application part of the thesis, we observe that the stochastic Runge-Kutta schemes supply the best approximate processes to the exact solutions, for instance, in simulating Orsntein-Uhlenbeck process and in Monte Carlo method for option pricing models.