Modelling and implementation of local volatility surfaces

Abstract

Bu tezde, finansal varlıkların volatilite yapılarının modellenmesi amacıyla Dupire yerel volatilite modeli detaylı olarak çalışılmıştır. Bu yüzden, birçok yerel volatilite denklemi incelenmiş¸ ve türetilmiştir: Dupire yerel volatilite, koşullu beklenen değer olarak yerel volatilite, zımni dalgalanma fonksiyonu. Literatürde detaylı olarak incelenen yerel volatilite modelinin ana sonuçları ispatlanmıştır. Ayrıca varlık fiyatlarının gelecek fiyat (forward price) dinamiklerinin stokastik diferansiyel denklemleri çerçevesinde yerel volatilite modeli kanıtlanmıştır. Sonuç¸olarak yerel volatilite yüzeylerini elde etmek için parametrik ve parametrik olmayan yöntemler çalışılmıştır. Parametrik yöntemlerde, yerel volatilite yüzeyi elde etmek için kullanılan ve zımni dalgalanma yüzeyi meydana getiren zımni dalgalanma fonksiyonu için Dumas parametrizasyonu kullanılmıştır. Yerel volatilite yüzeyleri için parametrik olmayan yöntemlerde, literatürde sağlam temelleri olan bazı sayısal teknikler ile birlikte zımni dalgalanma fonksiyonları ve opsiyon fiyatları ile ilgili veriler kullanılmıştır. Genel olarak, bu tezin gerceklestirilebileceği değişik yollar ileriki çalışmalar icin tartışılmıştır. Bunlardan biri yerel volatilite çozümleri elde etmek için Dupire denklemi cözülerek elde edilen Tikhonov düzenlemesidir.

In this thesis, Dupire local volatility model is studied in details as a means of modeling the volatility structure of a financial asset. In this respect, several forms of local volatility equations have been derived: Dupire's local volatility, local volatility as conditional expectation, and local volatility as a function of implied volatility. We haveproven the main results of local volatility model discussed in the literature in details. In addition, we have also proven the local volatility model under stochastic differentialequation of the forward price dynamics of asset prices. Consequently, we have studied the two main approaches to obtaining the local volatility surfaces: parametric methods and non-parametric methods. For the parametric method, we have used Dumas parametrization for the implied volatility function which produces implied volatility surface, which in turn is used in obtaining local volatility surface. While in the non-parametric approach of obtaining local volatility surfaces,we have used both implied volatilities and option prices data sets with some numerical techniques that are well-founded in literature. As an outlook, we have also discussed several paths this thesis could take for future studies, one of which is using Tikhonov regularization to obtain solutions of local volatilities by solving a regularized Dupire equation.