Particle MCMC for a time changed levy process

Abstract

Finansal modelleme çalışmalarında karşılaşılan en temel problemlerden biri varlık fiyatlarının gözlenen özeliklerine uygun rassal süreçlerin elde edilmesidir. Stokastik oynaklık modelleri ve bunların sıçrama süreçleri ile genişletilmiş versiyonları, bu tür ampirik dinamikleri yakalayabilecek esnek bir model sınıfını oluşturmaktadır. Ancak bu zengin modelleme imkanı, modellerin tahmin edilmesine ilişkin çeşitli zorlukları da beraberinde getirmektedir. Bu esnek modellerin tahmin edilmesi, daha basit modeller için mevcut olmayan bazı ek zorluklar içermektedir.Bu tezde, stokastik oynaklık ve sıçrama süreçlerinin esnek yapısından hareketle, söz konusu modellerin tahmin edilmesinde kullanılmak üzere simülasyon bazlı Bayesci tahmin yöntemleri incelenmektedir. Bu çerçevede, öncelikle Markov Zinciri Monte Carlo (MZMC) yaklaşımları detaylı olarak incelenmiş ve basit bir stokastik oynaklık modeli için farklı MZMC algoritmaları oluşturulmuş ve uygulanmıştır. Daha sonra anlık tahmin yaklaşımları ele alınmış ve bu kapsamda parçacık filtresi yöntemleri incelenmiştir. Basit bir parçacık filtresi ile başlanılmış ve sonrasında filtreleme yönteminin geliştirilmesine ilişkin yaklaşımlar tartışılmıştır. Ayrıca incelenen stokastik oynaklık modeli için çeşitli parçacık filtrelerini uygulamak amacıyla Monte Carlo algoritmaları geliştirilmiştir.İncelenen stokastik oynaklık modelinin aksine, daha gelişmiş finansal modeller genellikle gözlenemeyen birçok rastgele değişken ve karmaşık olabilirlik fonksiyonları içerebilmekte ve dolayısıyla standart MZMC yöntemleri bu tür modelleri etkin bir şekilde tahmin etmekte yetersiz kalabilmektedir. Bu durumda daha etkin bir alternatif olarak kullanılmak üzere parçacık MZMC yaklaşımları (Particle Markov Chain Monte Carlo. Journal of the Royal Statistical Society: Seri B 72 (3), 2010, sayfa 269-342) yakın zamanda literatürde önerilmiştir. Parçacık MZMC yaklaşımı, iki temel simülasyon bazlı Bayesci tahmin yöntemi olan MZMC ve parçacık filtresi yöntemlerini birleştirmekte ve karmaşık finansal modelleri tahmin etmek için güçlü bir yaklaşım sunmaktadır. Tezde parçacıkMZMC yaklaşımına ilişkin teorik çerçeve ile literatürde önerilen çeşitli parçacık MZMC algoritmaları incelenmiştir.Tezin son bölümünde, zaman değiştirilmiş Levy süreçlerine dayalı bir hisse fiyat modeli için MZMC ve parçacık MZMC algoritmaları geliştirilmiştir. Modelde hisse fiyatlarının Heston türü bir stokastik oynaklık süreci izlediği ve ayrıca getirilerin varyans-gama türü sıçrama süreçleri içerdi ği varsayılmıştır. Varyans–gama süreci aritmetik Brownian sürecinin gama süreci ile zaman değiştirilmesi yoluyla elde edilmekte olup, sonsuz aktivite ve sonlu değişim içermektedir. Model bu yapısı ile oldukça esnektir ve hisse senedi fiyatlarının gözlenen özelliklerinin çoğunu yakalayabilme özelliğine sahiptir.Tezde bu esnek model için MZMC ve parçacık MZMC algoritmaları geliştirilmiştir. Tezin akademik literatüre ana katkısı Levy tabanlı bu model için geliştirilen etkin parçacık MZMC algoritmalarıdır. Model için geliştirilen MZMC ve parçacık MZMC algoritmaları, 15 yıllık veri ile S&P500 endeksiüzerinde yapılan ampirik uygulamalarda karşılaştırılmıştır. Sonuçlar parçacık MZMC yaklaşımının, standart MZMC yaklaşımına göre daha etkin bir tahmin yöntemi olduğunu ve parçacıkMZMC yaklaşımı ile elde edilen standart hata ve otokorelasyonların daha düşük olduğunu göstermektedir.

For almost any type of financial modelling exercise, the most fundamental problem is finding suitable stochastic processes that capture the observed behaviour of asset prices well. Stochastic volatility models, and their extensions with jumps, are class of flexible models that can capture such empirical dynamics quite well. However this richer modelling environment comes at the expense of estimation challenges. Estimation of these flexible models involves some additional challenges that do not exist for simpler ones.In this thesis, motivated by models with stochastic volatility and jumps, simulation based Bayesian inference methods are analyzed. First we discuss different Markov Chain Monte Carlo (MCMC) approaches in detail, develop various algorithms and implement them for a basic stochastic volatility model. Next we turn our attention to on-line inference and analyze particle filtering methods. We begin with a simple particle filter and then discuss methods to improve the basic filter. We also develop Monte Carlo algorithms to implement particle filters for our stochastic volatility model. More advanced financial models typically include many latent random variables and complicated likelihood functions where standard MCMC methods may fail to efficiently estimate them. As a more effective alternative, we discussed the Particle MCMC methods recently proposed by C. Andrieu, A. Doucet, and R. Holenstein (Particle Markov Chain Monte Carlo. Journal of the Royal Statistical Society: Series B 72 (3), 2010, pp 269-342). Particle MCMC methods combine two strands of simulation based Bayesian inference, namely, particle filtering and MCMC, and offer a powerful tool for estimating complex financial models. The theoretical foundations for particle MCMC as well as various samplers proposed in the literature are analyzed in the thesis.In the final part of the thesis, we develop MCMC and particle MCMC methods for a stock price model with a time changed Levy process. We assume that the stock price follows a Heston-type stochastic volatility plus variance-gamma jumps in returns. Variance-Gamma process is an infinite activity finite variation Levy process obtained by subordinating an arithmetic Brownian motion with a Gamma process. The model is quite flexible in its nature and can capture most of the observed characteristics of stock prices.Our main contribution to existing academic literature is the efficient particle MCMC algorithms that are developed for the Levy based model. We compare MCMC and particle MCMC algorithms in an empirical implementation using S&P500 Index with 15 years of data. The results indicate that the particle MCMC algorithm is a more efficient alternative to standard MCMC and typically gives smaller standard errors and lower autocorrelations