Computing cryptographic properties of Boolean functions from the algebraic normal form representation

Abstract

Boole fonksiyonları simetrik anahtarlı kriptosistemlerin tasarım ve analizinde önemli rol oynamanın yanı sıra kodlama teorisi gibi alanlarda uygulamaları olan bir araştırma alanıdır. Girdi sayısı fazla olan Boole fonksiyonları, kriptografik özelliklerin hesaplanması problemini beraberinde getirir. Bu özellikleri hesaplamanın geleneksel yolu, hesaplama ve hafıza kaynakları girdi sayısına üstel olarak bağlı olan dönüşümler gerektirir. Yüksek girdi sayılı Boole fonksiyonları genellikle cebirsel normal biçim (ANF) gösterimi ile ifade edilir. Bu tezde, ANF gösterimi verilen bir Boole fonksiyonunun ağırlığını ve doğrusallıktan sapma miktarını hesaplayan yöntemler araştırılmıştır. Bir Boole fonksiyonunun ANF katsayıları ve ağırlığı arasındaki ilişki Carlet ve Guillot tarafından gösterilmiştir. Bu ifade, ANF gösteriminde $p$ adet terim olan bir Boole fonksiyonunun ağırlığının $/mathcal{O}(2^p)$ işlemde hesaplanabilmesine olanak sağlamıştır. Bu çalışmada, ağırlık ifadesindeki gereksiz işlemlerden kaçınan daha verimli bir algoritma önerilmiştir. Ağırlık ifadesi genelleştirilerek, doğrusal fonksiyonlara uzaklığın bir formülü elde edilmiştir. Bu formül sayesinde bir Boole fonksiyonunun doğrusallıktan sapma miktarını ANF gösteriminden bulma problemi, ilgili bir ikili tamsayı programlama problemine indirgenmiştir. Bu yaklaşımla, yüksek girdi sayılı ve az sayıda terim içeren Boole fonksiyonlarının doğrusallıktan sapma miktarı makul sürelerde hesaplanabilmektedir.

Boolean functions play an important role in the design and analysis of symmetric-key cryptosystems, as well as having applications in other fields such as coding theory. Boolean functions acting on large number of inputs introduces the problem of computing the cryptographic properties. Traditional methods of computing these properties involve transformations which require computation and memory resources exponential in the number of input variables. When the number of inputs is large, Boolean functions are usually defined by the algebraic normal form (ANF) representation. In this thesis, methods for computing the weight and nonlinearity of Boolean functions from the ANF representation are investigated. The relation between the ANF coefficients and the weight of a Boolean function was introduced by Carlet and Guillot. This expression allows the weight to be computed in $/mathcal{O}(2^p)$ operations for a Boolean function containing $p$ monomials in its ANF. In this work, a more efficient algorithm for computing the weight is proposed, which eliminates the unnecessary calculations in the weight expression. By generalizing the weight expression, a formulation of the distances to the set of linear functions is obtained. Using this formulation, the problem of computing the nonlinearity of a Boolean function from its ANF is reduced to an associated binary integer programming problem. This approach allows the computation of nonlinearity for Boolean functions with high number of input variables and consisting of small number of monomials in a reasonable time.