Investigation of fractional Black Scholes option pricing approaches and their implementations

Abstract

Opsiyon fiyatlama, finansal matematikteki en temel araştırma konularından birisidir.Black Scholes modelinden sonra kısmi diferansiyel denklemlerle opsiyon fiyatlamakdaha yaygın hale gelmiştir. Kısmi diferansiyel denklemler hem nümerik ve analitikçözümle bulunmasına hem de yeni modeller geliştirilmesine olanak sağlamaktadır. Enönemli kısmi diferansiyel denklemlerden biri kesirli Black Scholes denklemidir. Birkısmi diferansiyel denklemi zamana göre kesirli hale getirmek onu zaman sınırlamasındançıkartır; bu da denklemin kısıtlı zaman aralığını genişletir. Literatürde, çeşitlimetotlar kullanılarak çok sayıda kesirli Black Scholes denklemi önerilmiştir. Bu önerilerdentez konusuyla ilgili olanları incelenmiş ve özetlenmiştir. Bu tezin literatürekatkısı kesirli ısı denklemi ve kesirli Brown hareketinden elde edilen iki yeni kesirliBlack Scholes denklemidir. Önerilen bu modeller, belirli durumlar için Black Scholesdenklemine karşılık gelmiştir. Diğer yandan, opsiyonun değerini bulmak, opsiyon fiyatlamamodeli elde etmek kadar önemli olduğu için, ileri doğru farklar metodu kesirlimetoda genişletilmiştir. Bu yeni metodun amacı nümerik çözümler bulmaktır. KesirliBlack Scholes denklemi, önerilen bu kesirli ileri doğru farklar metodu ile çözülmüş veçözümler, ileri doğru farklar metodu ile elde edilen çözümlerle karşılaştırılmıştır.

One of the fundamental research areas in the financial mathematics is option pricing.With the emergence of Black-Scholes model, the partial differential equations (PDE)for option pricing have started to be used widely. PDEs are adopted for both findingnumerical and analytical solutions and developing new models for option pricing. Oneof the significant PDE is fractional Black-Scholes PDE. Essentially, a PDE can becomenon-local with fractionalization and this non-localization enables to expand the timeframe of that equation. Several fractional Black Scholes equations are proposed inliterature. The ones relevant to the topic of this thesis are summarized. The maincontribution of this thesis is the development of new fractional Black-Scholes PDEthrough fractional heat equation and fractional Brownian motion. The new models areevaluated for particular cases and correspondence with Black Scholes PDE is noticed.Moreover, because the valuation of option is as necessary as the derivation of an optionvaluation model, the explicit method is expanded to a fractional explicit method. Thenew method is to find a numerical solution. The Fractional Black Scholes PDE issolved by the proposed fractional explicit method and the solutions are compared withthe classical ones.