Local improvements to reduced-order approximations of pde-constrained optimization problems

Abstract

Ekolojik kontrol problemleri, akışkanların eniyilemeli kontrol problemleri,petrol birikim simülasyonu, çelik yüzeyinin sertleştirilmesi, değişken tahminleri gibi birçok matematiksel problem, kısmi diferansiyel denklemlerin eniyilemeli kontrol problemleri şeklinde ifade edilmektedir. Eliptik ve parabolik diferansiyel denklemlerin eniyilemeli kontrol problemleri ile ilgili çok sayıda çalışma olmasına karşın, zamana bağlı difüzyon konveksiyon ve reaksiyon terimleri içeren diferansiyel denklemlerin ve Burgers denkleminin eniyilemeli kontrol problemleri ile ilgili çalışma az sayıdadır.Bu tezde, zamana bağlı difüzyon konveksiyon ve reaksiyon terimleri içeren diferansiyel denklemlerin ve Burgers denkleminin kontrol kısıtı olmayan eniyilemeli kontrol problemleri çalışılmıştır. Bu problem, difüzyon terimi küçük olduğunda önem kazanmaktadır. Bu durumda, çözüm, tanım kümesi içinde veya tanım kümesinin sınırına yakın bölgelerde katmanlar içermektedir. Sürekli sınırlı elemanlar yöntemi bu tip problemlerde iyi sonuçlar vermemektedir. Bu nedenle, kararlı, çok yakınsak ve aynı dereceden yöntemlere göre çözümün daha az türevlenebilir olmasının yeterli olduğu bir yöntem olan varyasyonel zaman ayrıklaştırılması yöntemi ile çözümün elemanlar arasında sürekli olması kısıtını kaldıran simetrik kesintili Galerkin yöntemi bir arada kullanılmıştır. Uzay-zaman kesintili Galerkin yöntemi için, önceden hata tahminleri elde edilmiş ve nümerik sonuçlar gösterilmiştir.Kesin ve kararlı sayısal çözüm elde edebilmek için, problemin sık bir ağ üzerinde çözülmesi gerekmektedir. Bu da ayrık problemin boyutunu artırır ve daha geç çözülmesine yol açar. Verideki her bozunumda, tam dereceli modelin yeniden çözülmesi gerekmektedir. Eniyileme problemlerinde ise, yeni kontrol bulunduktan sonra, tam dereceli modelle ilişkili birden fazla diferansiyel denklemin nümerik çözümüne gerek duyulmaktadır. Bu nedenle, tam dereceli modelin çözülmesi ihtiyacını ortadan kaldıran ve problemin daha hızlı çözülmesini sağlayan, modelin derecesini azaltma yöntemleri tercih edilmektedir. Bu çalışmada, en yaygın model indirgeme yöntemlerinden biri olan, öz dik ayrışım yöntemi kullanılmaktadır. Bu yöntem ile boyutu indirgenmiş ve kısıtlı elemanlar uzayının içinde kalan yeni bir uzayı üreten tabanlar bulunmaktır. Bu taban kullanılarak, tam dereceli model, boyutu indirgenmiş uzaya Galerkin yöntemi ile izdüşürülür. Buna ek olarak, indirgenmiş model için uzay-zaman kesintili Galerkin yöntemine dayanarak, önceden hata tahminleri hesaplanmış ve nümerik sonuçlarla güçlendirilmiştir. Öz dik ayrışım yöntemi, üretildiği sayısal çözüm ile ilgili bilgi taşımaktadır. Bu sayısal çözümün elde edildiği verideki bozunumlar, öz dik ayrışım yöntemi ile elde edilen tabanın iyi sonuç vermemesine yol açar. Bu durumda, verideki her değişim için tam boyutlu problemin yeniden çözülmesi ve tabanın yeniden üretilmesi gerekmektedir. Özellikle lineer olmayan problemler için pahalı olan bu seçenek yerine, çözümün difüzyon, adveksiyon ve reaksiyon değişkenine göre hassasiyeti kullanılarak, boyutu indirgenmiş uzay zenginleştirilebilir. Bu bilgiyi kullanarak iki yeni taban, dışdeğerbiçim tabanı ve genişletilmiş taban, üretilmiştir. Sayısal sonuçlar kullanılarak, bu bazların faydaları ve eksikleri incelenmiştir. Her bir problem için, en uygun baza karar verilmiştir.

Optimal control problems (OCPs) governed partial differential equations (PDEs) arise in environmental control problems, optimal control of fluid flow, petroleum reservoir simulation, laser surface hardening of steel, parameter estimation and in many other applications. Although the OCPs governed by elliptic and parabolic problems are investigated theoretically and numerically in several papers, the studies concerning the optimal control of evolutionary diffusion-convection-reaction (DCR) equation and Burgers equation are quite rare. In this study, we consider the optimal control problem governed by the unsteady diffusion-convection-reaction equation and Burgers equation without control constraints. These problems gain importance, especially when the diffusive term is small. In such cases, the numerical solution exhibit interior/boundary layers and classical finite element method (FEM) is not efficient for derivation of an accurate numerical solution and methods requiring higher regularity of the solution might not be practical. Therefore, we solve these problems using variational time discretization method, which is a stable, superconvergent technique requiring less regularity when compared to the methods of the same order; and symmetric interior penalty Galerkin (SIPG) with upwinding in space, which flexes inter element continuity of the solution. We provide a priori error estimates for space-time discontinuous Galerkin method and present numerical findings.An accurate and stable numerical solution requires a fine grid/mesh, which increases the dimension of the discrete problem, so the computational time. In case of perturbations in the data, full-order model (FOM) is required to be solved for each new parameter in the data set. In case of optimization problems, FOM associated to the differential equations must be resolved after updating the control. Therefore, we use a model-order reduction (MOR) technique that eliminates the necessity of the solution of the FOM for each parameter and that enables us to solve the problem in a fast way. We use one of the most popular and successful MOR techniques, namely the proper orthogonal decomposition (POD) method. The idea behind the POD method is to derive a new basis spanning the space whose dimension is lower than the finite element space. Then, the FOM is projected onto the low-dimensonal space using the new optimal POD basis as we proceed in Galerkin projection. In addition, a priori error estimates associated to reduced-order model (ROM) based on space-time dG method are proven and numerical results are shown.The POD basis is computed using the snapshots of a particular problem which is interpreted by a mathematical model and data. Because there is a link between the data and the snapshots, some perturbation in the data may lead to larger changes in the snapshots depending on the problem at hand. This leads the nominal/baseline POD basis, which depends on the nominal/baseline parameters, not to approximate the perturbed problem accurately. In such cases, one has to solve the full problem for each parameter in the data set again and regenerate the POD basis. This approach is expensive especially for nonlinear problems or optimal control problems which requires the solution of a set of differential equations. Thus, POD sensitivities are used to enrich the low-dimensional subspace for a wider range of parameters and the quantity of interest is the diffusion term $/epsilon$, the convection term $/beta$ and the reaction term $r$. We generate two new bases, i.e. extrapolated POD (ExtPOD) and expanded POD (ExpPOD) and compare these bases in terms of advantages and discuss the main drawbacks of them.