Stochastic optimal control theory: New applications to finance and insurance

Abstract

Bu tezde, stokastik optimal kontrol teorisinin literatürü, ve bu teori üzerindeki son gelişmeler ve yeni edinimler üzerinde durulmuştur. Stokastic optimal kontrol teorisi, dinamikleri stokastik diferansiyel denklemleri takip eden zamana bağlı süreçlere tabi tutulan en uygun kontrol politikalarının türetilmesi için kullanılmaktadır. Bu çalışmada, bu metodoloji, gerçek hayattan finans ve sigorta problemleri için sonsuz boyutlu optimizasyon programlarını çözmek için kullanılmaktadır. Stochastic optimal kontrol problemleri, (i) Pontryagin'in maksimum prensibi ile birlikte stokastik adjoint denklemleri (hem gerekli hem de yeterli optimallik koşulları dahilinde) ve (ii) Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) denklemleri ile birlikte Dinamik Programlama prensibi (gerekli ve yeterli şartlar içinde, örneğin bir doğrulama analizi) olmak üzere çözülebilir. Bu tezde Dinamik Programlama Prensibi, HJB denklemleri, doğrulama teoremi, sıçramalı difüzyonların stokastik optimal kontrolü için Yeterli Maksimum Prensip ve Maksimum Prensip ile Dinamik Programlama Prensibi arasındaki bağlantıları ve farklılıkları açıklayacağız. Finansal uygulamalar kısmında sırasıyla bir sigortacının ortalama-varyans portföy seçimi problemi ve Merton optimal portföy ve tüketim problemini inceleyeceğiz. Aktüerya biliminden ise bir sigorta şirketinin optimal yatırım ve yükümlülük oranı problemini ve bir gündelikçi için en iyi hayat sigortası seçimi ve satın alımı, en uygun tüketim ve yatırım oranlarını bulma problemini inceleyeceğiz. Örneklerimizde, üstel, güç ve logaritmik gibi çeşitli fayda fonksiyonları ve risk farklılığının farklı parametrelerini inceleyeceğiz. Bu örneklerden optimal çözümlerin bazı grafiksel sonuçlarını sunacağız. Çalışmamızı sonuş ve gelecekteki çalışmalar kısmı ile bitireceğiz.

In this study, the literature, recent developments and new achievements in stochastic optimal control theory are studied. Stochastic optimal control theory is an important direction of mathematical optimization for deriving control policies subject to time-dependent processes whose dynamics follow stochastic differential equations. In this study, this methodology is used to deal with those infinite-dimensional optimization programs for problems from finance and insurance that are indeed motivated by the real life. Stochastic optimal control problems can be further treated and solved along different avenues, two of the most important ones of being (i) Pontryagin's maximum principle together with stochastic adjoint equations (within both necessary and sufficient optimality conditions), and (ii) Dynamic Programming principle together with Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) equations (within necessary and sufficient versions, e.g., a verification analysis). Here we introduce the needed instruments from economics and from Ito calculus, such as the theory of jump-diffusion and Lévy processes. We then present Dynamic Programing Principle, HJB Equations, Verification Theorem, Sufficient Maximum Principle for stochastic optimal control of diffusions and jump diffusions, and we state some connections and differences between Maximum Principle and the Dynamic Programing Principle. As financial applications, we investigate mean-variance portfolio selection problem and Merton optimal portfolio and consumption problem. From actuarial sciences, we study the optimal investment and liability ratio problem for an insurer and the problem of purchase of optimal life-insurance, optimal investment and consumption of a wage-earner within a market of several life-insurance providers, respectively. In our examples, we shall refer to various utility functions such as exponential, power and logarithmic ones, and to different parameters of risk averseness. We provide some graphical representations of the optimal solutions to illustrate the theoretical results. The thesis ends with a conclusion and an outlook to future studies, addressing elements of information, memory and stochastic robust optimal control problems.